《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 已知抛物线 $ y= \frac{1}{2}x^{2}+x + c $ 与 $ x $ 轴没有交点.
(1) 求 $ c $ 的取值范围；
(2) 试确定直线 $ y = cx + 1 $ 经过的象限,并说明理由.

答案： $(1)$ 求$c$的取值范围
解：对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+x + c$中，$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$，$c$为待求系数。
因为抛物线与$x$轴没有交点，所以$\Delta＜0$。
将$a = \frac{1}{2}$，$b = 1$代入$\Delta=b^{2}-4ac$得：
$\Delta = 1^{2}-4×\frac{1}{2}× c＜0$
即$1 - 2c＜0$。
移项可得：$-2c＜-1$。
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$c＞\frac{1}{2}$。
$(2)$ 确定直线$y = cx + 1$经过的象限
解：对于一次函数$y=kx + b$（$k\neq0$），$k$决定直线的倾斜方向，$b$决定直线与$y$轴的交点。
在直线$y = cx + 1$中，$b = 1$，所以直线与$y$轴的交点为$(0,1)$，即直线过$y$轴正半轴。
由$(1)$知$c＞\frac{1}{2}＞0$，所以$k = c＞0$，直线$y = cx + 1$的斜率大于$0$，$y$随$x$的增大而增大。
根据一次函数的性质：当$k＞0$，$b＞0$时，直线$y = kx + b$经过第一、二、三象限。
所以直线$y = cx + 1$经过第一、二、三象限。
综上，答案为$(1)\boldsymbol{c＞\frac{1}{2}}$；$(2)$直线$y = cx + 1$经过第一、二、三象限。

9. 已知抛物线 $ y = 2x^{2}-mx - m^{2} $.
(1) 求证：对任意实数 $ m $,抛物线与 $ x $ 轴总有交点；
(2) 若该抛物线与 $ x $ 轴有两个不同的交点 $ A $,$ B $,且点 $ A(1,0) $,求点 $ B $ 的坐标.

答案： 1. （1）证明：
对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在抛物线$y = 2x^{2}-mx - m^{2}$中，$a = 2$，$b=-m$，$c=-m^{2}$。
则$\Delta=(-m)^{2}-4×2×(-m^{2})$
先计算$(-m)^{2}=m^{2}$，$4×2×(-m^{2})=-8m^{2}$。
所以$\Delta=m^{2}+8m^{2}$。
合并同类项得$\Delta = 9m^{2}$。
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$9m^{2}\geqslant0$，即$\Delta\geqslant0$。
所以对任意实数$m$，抛物线与$x$轴总有交点。
2. （2）解：
因为点$A(1,0)$在抛物线$y = 2x^{2}-mx - m^{2}$上，将$x = 1$，$y = 0$代入抛物线方程得：
$2×1^{2}-m×1 - m^{2}=0$，即$m^{2}+m - 2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = 1$，$c=-2$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，或因式分解$m^{2}+m - 2=(m + 2)(m - 1)=0$。
解得$m=-2$或$m = 1$。
当$m=-2$时，抛物线方程为$y = 2x^{2}+2x - 4$。
令$y = 0$，则$2x^{2}+2x - 4 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+x - 2 = 0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
当$m = 1$时，抛物线方程为$y = 2x^{2}-x - 1$。
令$y = 0$，则$2x^{2}-x - 1 = 0$，因式分解得$(2x + 1)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$。
所以点$B$的坐标为$(-2,0)$或$(-\frac{1}{2},0)$。

10. 已知二次函数 $ y = mx^{2}+x - 1 $.
(1) 当 $ m $ 为何值时,图象与 $ x $ 轴有两个不同的交点？
(2) 当 $ m $ 为何值时,图象与 $ x $ 轴只有一个交点？
(3) 当 $ m $ 为何值时,图象与 $ x $ 轴无交点？

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = mx^{2}+x - 1$，令$y = 0$，则$mx^{2}+x - 1=0$（$m\neq0$，因为是二次函数）。
由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，这里$a = m$，$b = 1$，$c=-1$，$\Delta = 1^{2}-4m×(-1)=1 + 4m$。
当图象与$x$轴有两个不同交点时，$\Delta＞0$且$m\neq0$。
即$1 + 4m＞0$且$m\neq0$。
解不等式$1 + 4m＞0$，移项得$4m＞-1$，解得$m＞-\frac{1}{4}$。
所以当$m＞-\frac{1}{4}$且$m\neq0$时，图象与$x$轴有两个不同的交点。
2. （2）
当$m = 0$时，函数$y = mx^{2}+x - 1$变为$y=x - 1$，$y=x - 1$是一次函数，与$x$轴有一个交点（令$y = 0$，则$x = 1$）。
当$m\neq0$时，由$\Delta = 0$，即$1 + 4m=0$，解得$m=-\frac{1}{4}$。
所以当$m = 0$或$m=-\frac{1}{4}$时，图象与$x$轴只有一个交点。
3. （3）
当$m\neq0$时，由$\Delta＜0$，即$1 + 4m＜0$，解得$m＜-\frac{1}{4}$。
所以当$m＜-\frac{1}{4}$时，图象与$x$轴无交点。
综上，（1）$m＞-\frac{1}{4}$且$m\neq0$；（2）$m = 0$或$m=-\frac{1}{4}$；（3）$m＜-\frac{1}{4}$。

1. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 3x + m $($ m $ 为常数)的图象与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (1, 0) $,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x + m = 0 $ 的两实数根是(C)。
A.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = -1 $
B.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 0 $
C.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 2 $
D.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = 3 $

答案： C