《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

9. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $E$ 在 $BC$ 上,$AE$ 交 $BD$ 于点 $F$。
(1) 若 $E$ 是 $BC$ 的三等分点(靠近点 $B$),求：① $\dfrac{BF}{DF}$ 的值；
② $\triangle BEF$ 与$\triangle DAF$ 的面积比；
(2) 当 $\dfrac{BF}{FO} = \dfrac{n}{m}$ 时,求 $\dfrac{BE}{EC}$ 的值。

答案： 1. （1）
①
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
由$AD// BC$，可得$\triangle BEF\sim\triangle DAF$。
因为$E$是$BC$的三等分点（靠近点$B$），所以$\frac{BE}{AD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$（相似三角形对应边成比例），所以$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$。
②
因为$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方。
已知相似比$k = \frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，设$\triangle BEF$的面积为$S_{1}$，$\triangle DAF$的面积为$S_{2}$，则$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{BE}{AD})^{2}$。
所以$\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle DAF}}=\frac{1}{9}$。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BO = OD$，设$BO = OD = x$，$BF=\frac{n}{m + n}\cdot2x$，$FO=\frac{m}{m + n}\cdot2x$（由$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$，$BF + FO=BO + OD = 2x$）。
又因为$AD// BC$，所以$\triangle BEF\sim\triangle DAF$。
则$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$，而$DF=BF + 2FO$（因为$BD = 2BO$）。
设$BE = y$，$EC = z$，$AD=y + z$。
由$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$，$DF=BF + 2FO$，$\frac{BF}{FO}=\frac{n}{m}$，即$DF=\frac{n + 2m}{m}FO$，$BF=\frac{n}{m}FO$。
又因为$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$，$AD=BE + EC$，$\frac{BE}{BE + EC}=\frac{BF}{BF + 2FO}$。
把$BF=\frac{n}{m}FO$代入$\frac{BE}{BE + EC}=\frac{\frac{n}{m}FO}{\frac{n}{m}FO+2FO}$，分子分母同时除以$FO$得$\frac{BE}{BE + EC}=\frac{\frac{n}{m}}{\frac{n}{m}+2}=\frac{n}{n + 2m}$。
由$\frac{BE}{BE + EC}=\frac{n}{n + 2m}$，根据比例性质$BE(n + 2m)=n(BE + EC)$。
展开得$BE\cdot n+2m\cdot BE=n\cdot BE + n\cdot EC$。
化简得$2m\cdot BE=n\cdot EC$，所以$\frac{BE}{EC}=\frac{n}{2m}$。
综上，（1）①$\frac{1}{3}$；②$\frac{1}{9}$；（2）$\frac{n}{2m}$。

1. 如图,在矩形 $ AOBC $ 中,点 $ A $ 的坐标是 $ (-2,1) $,点 $ C $ 的纵坐标是 $ 4 $,则 $ B $,$ C $ 两点的坐标分别是(B).

A.$ \left( \dfrac { 3 } { 2 }, 3 \right) $,$ \left( - \dfrac { 2 } { 3 }, 4 \right) $
B.$ \left( \dfrac { 3 } { 2 }, 3 \right) $,$ \left( - \dfrac { 1 } { 2 }, 4 \right) $
C.$ \left( \dfrac { 7 } { 4 }, \dfrac { 7 } { 2 } \right) $,$ \left( - \dfrac { 2 } { 3 }, 4 \right) $
D.$ \left( \dfrac { 7 } { 4 }, \dfrac { 7 } { 2 } \right) $,$ \left( - \dfrac { 1 } { 2 }, 4 \right) $

答案： B

2. 如图,在 $ 5 × 5 $ 的正方形方格中,$ \triangle ABC $ 的顶点都在边长为 $ 1 $ 的小正方形的顶点上,作一个与 $ \triangle ABC $ 相似的 $ \triangle DEF $,使它的三个顶点都在小正方形的顶点上,则 $ \triangle DEF $ 的最大面积是(A).

A.$ 5 $
B.$ 10 $
C.$ \dfrac { 5 } { 2 } $
D.$ \sqrt { 5 } $

答案： A

3. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB \lt AC \lt BC $. 若在 $ BC $ 上存在一点 $ D $,使得将 $ \triangle ABC $ 沿 $ AD $ 剪开后得到的两个三角形相似,且较大三角形的面积是较小三角形的面积的 $ 2 $ 倍,则 $ AB : AC : BC = $(A).
A.$ 1 : \sqrt { 2 } : \sqrt { 3 } $
B.$ 1 : 2 : 3 $
C.$ 1 : 4 : 9 $
D.$ 1 : 16 : 81 $

答案： A