《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示,求：
(1) 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴；
(2) $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集；
(3) $ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $ 的解集。

答案： 1. （1）解：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，若其图象与$x$轴的交点坐标为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，则对称轴公式为$x=\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$。
已知抛物线与$x$轴交点为$(-1,0)$和$(4,0)$，所以对称轴$x=\frac{-1 + 4}{2}=\frac{3}{2}$。
2. （2）
由图象可知，$y=ax^{2}+bx + c\gt0$时，图象在$x$轴上方。
因为抛物线与$x$轴交点为$x=-1$和$x = 4$，且抛物线开口向上，所以$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$x\lt - 1$或$x\gt4$。
3. （3）
由图象可知，$y=ax^{2}+bx + c\lt0$时，图象在$x$轴下方。
因为抛物线与$x$轴交点为$x=-1$和$x = 4$，且抛物线开口向上，所以$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$-1\lt x\lt4$。
综上，（1）对称轴为$x = \frac{3}{2}$；（2）$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$\{x|x\lt - 1或x\gt4\}$；（3）$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$\{x|-1\lt x\lt4\}$。

9. 已知二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + m $。
(1) 如果二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个交点,求 $ m $ 的取值范围；
(2) 如图,二次函数的图象过点 $ A(3, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,直线 $ AB $ 与这个二次函数图象的对称轴交于点 $ P $。求点 $ P $ 的坐标。

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在二次函数$y=-x^{2}+2x + m$中，$a=-1$，$b = 2$，$c = m$。
因为二次函数的图象与$x$轴有两个交点，所以$\Delta＞0$。
即$\Delta = 2^{2}-4×(-1)× m＞0$。
化简不等式：
先计算$2^{2}-4×(-1)× m$，$2^{2}=4$，$-4×(-1)× m = 4m$，则不等式变为$4 + 4m＞0$。
移项得$4m＞-4$。
两边同时除以$4$，解得$m＞-1$。
2. （2）
因为二次函数$y=-x^{2}+2x + m$的图象过点$A(3,0)$，把$x = 3$，$y = 0$代入$y=-x^{2}+2x + m$中：
得$0=-3^{2}+2×3 + m$。
计算$-3^{2}+2×3$：$-3^{2}=-9$，$2×3 = 6$，则$-9 + 6+m=0$，即$-3+m=0$，解得$m = 3$。
所以二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$，当$x = 0$时，$y=3$，所以$B(0,3)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b(k\neq0)$，把$A(3,0)$，$B(0,3)$代入$y=kx + b$中：
得$\begin{cases}3k + b=0\\b = 3\end{cases}$。
把$b = 3$代入$3k + b=0$，得$3k+3 = 0$。
移项得$3k=-3$，解得$k=-1$。
所以直线$AB$的解析式为$y=-x + 3$。
对于二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，这里$a=-1$，$b = 2$，则对称轴$x=-\frac{2}{2×(-1)} = 1$。
把$x = 1$代入直线$AB$的解析式$y=-x + 3$中，当$x = 1$时，$y=-1 + 3=2$。
所以（1）$m$的取值范围是$m＞-1$；（2）点$P$的坐标为$(1,2)$。

1. 已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,那么关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c + 2 = 0 $ 的根的情况是(D)。

A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根

答案： D

2. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图所示.有下列结论：
① $ 2a + b ＞ 0 $；② $ abc ＜ 0 $；③ $ b^2 - 4ac ＞ 0 $；④ $ a + b + c ＜ 0 $；⑤ $ 4a - 2b + c ＜ 0 $.其中正确的个数是(B)。

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B