《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

18. 如图,在平面直角坐标系中,$ A $ 为 $ y $ 轴正半轴上一点,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的平行线,交函数 $ y = - \frac{2}{x}(x ＜ 0) $ 的图象于点 $ B $,交函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点 $ C $,过点 $ C $ 作 $ y $ 轴的平行线交 $ BO $ 的延长线于点 $ D $.
(1) 如果点 $ A $ 的坐标为 $ (0,2) $,求线段 $ AB $ 与线段 $ CA $ 的长度之比；
(2) 如果点 $ A $ 的坐标为 $ (0,a) $,求线段 $ AB $ 与线段 $ CA $ 的长度之比；
(3) 在(2)的条件下,求四边形 $ AODC $ 的面积.

答案： 1. （1）
已知$A(0,2)$，因为$BC// x$轴，所以$B$点纵坐标为$2$，$C$点纵坐标为$2$。
把$y = 2$代入$y=-\frac{2}{x}(x\lt0)$，得$2 = -\frac{2}{x}$，解得$x=-1$，所以$B(-1,2)$。
把$y = 2$代入$y=\frac{6}{x}(x\gt0)$，得$2=\frac{6}{x}$，解得$x = 3$，所以$C(3,2)$。
则$AB=\vert - 1-0\vert=1$，$CA=\vert3 - 0\vert=3$，所以$\frac{AB}{CA}=\frac{1}{3}$。
2. （2）
已知$A(0,a)$，因为$BC// x$轴，所以$B$点纵坐标为$a$，$C$点纵坐标为$a$。
把$y = a$代入$y=-\frac{2}{x}(x\lt0)$，得$a = -\frac{2}{x}$，解得$x=-\frac{2}{a}$，所以$B(-\frac{2}{a},a)$。
把$y = a$代入$y=\frac{6}{x}(x\gt0)$，得$a=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{6}{a}$，所以$C(\frac{6}{a},a)$。
则$AB=\vert-\frac{2}{a}-0\vert=\frac{2}{a}$，$CA=\vert\frac{6}{a}-0\vert=\frac{6}{a}$，所以$\frac{AB}{CA}=\frac{\frac{2}{a}}{\frac{6}{a}}=\frac{1}{3}$。
3. （3）
设直线$OB$的解析式为$y = kx$，把$B(-\frac{2}{a},a)$代入$y = kx$，得$a=k×(-\frac{2}{a})$，解得$k=-\frac{a^{2}}{2}$，所以直线$OB$的解析式为$y = -\frac{a^{2}}{2}x$。
因为$CD// y$轴，$C$点横坐标为$\frac{6}{a}$，所以$D$点横坐标为$\frac{6}{a}$。
把$x = \frac{6}{a}$代入$y = -\frac{a^{2}}{2}x$，得$y=-\frac{a^{2}}{2}×\frac{6}{a}=-3a$，所以$D(\frac{6}{a},-3a)$。
四边形$AODC$是直角梯形，$OA = a$，$CD=\vert a-(-3a)\vert = 4a$，$AC=\frac{6}{a}$。
根据梯形面积公式$S=\frac{(OA + CD)\cdot AC}{2}$，则$S_{AODC}=\frac{(a + 4a)\cdot\frac{6}{a}}{2}$。
先计算分子$(a + 4a)\cdot\frac{6}{a}=5a\cdot\frac{6}{a}=30$，所以$S_{AODC}=15$。
综上，（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{1}{3}$；（3）$15$。

19. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 $ ABCD $ 的顶点 $ C $ 与原点 $ O $ 重合,点 $ B $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 的图象上,点 $ D $ 的坐标为 $ (4,3) $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 若将菱形 $ ABCD $ 沿 $ x $ 轴正方向平移,当菱形的顶点 $ D $ 落在函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 的图象上时,求菱形 $ ABCD $ 沿 $ x $ 轴正方向平移的距离.

答案： 1. （1）
过点$D$作$x$轴的垂线，垂足为$E$。
已知点$D$的坐标为$(4,3)$，则$OE = 4$，$DE = 3$。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = 3$，$b = 4$），可得$OD=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = OD = 5$。
所以点$A$的坐标为$(4,8)$。
因为点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0,x\gt0)$的图象上，将$A(4,8)$代入$y = \frac{k}{x}$，根据$k=xy$，可得$k=4×8 = 32$。
2. （2）
设菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移$a$个单位后，顶点$D$落在函数$y=\frac{32}{x}(x\gt0)$的图象上，此时$D$点坐标为$(4 + a,3)$。
把$D(4 + a,3)$代入$y=\frac{32}{x}$，得$3=\frac{32}{4 + a}$。
解方程：
由$3=\frac{32}{4 + a}$，根据等式性质$3(4 + a)=32$。
展开得$12+3a = 32$。
移项得$3a=32 - 12$，即$3a = 20$。
解得$a=\frac{20}{3}$。
综上，（1）$k = 32$；（2）平移的距离为$\frac{20}{3}$。