《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 某网店打出促销广告：新款服装 $ 30 $ 件,每件售价 $ 300 $ 元。若一次性购买不超过 $ 10 $ 件时,售价不变；若一次性购买超过 $ 10 $ 件时,每多买 $ 1 $ 件,所买的每件服装的售价均降低 $ 3 $ 元。已知该服装成本是每件 $ 200 $ 元。设顾客一次性购买服装 $ x $ 件时,该网店从中获利 $ y $ 元。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多？

答案： $(1)$ 求$y$与$x$之间的函数表达式及自变量$x$的取值范围
- **当$0\leq x\leq10$且$x$为整数时：
每件服装利润为$300 - 200=100$元，根据“总利润$=$每件利润$×$销售量”，可得$y = 100x$。
- **当$10\lt x\leq30$且$x$为整数时：
此时每件服装售价为$300 - 3(x - 10)=330 - 3x$元，每件利润为$(330 - 3x)-200 = 130 - 3x$元。
同样根据“总利润$=$每件利润$×$销售量”，可得$y=(130 - 3x)x=-3x^{2}+130x$。
综上，$y$与$x$之间的函数表达式为$y = \begin{cases}100x(0\leq x\leq10且x为整数)\\-3x^{2}+130x(10\lt x\leq30且x为整数)\end{cases}$。
$(2)$ 求顾客一次性购买多少件时，网店获利最多
- **当$0\leq x\leq10$且$x$为整数时：
$y = 100x$，$y$随$x$的增大而增大，所以当$x = 10$时，$y_{max}=100×10 = 1000$元。
- **当$10\lt x\leq30$且$x$为整数时：
对于二次函数$y=-3x^{2}+130x$，其中$a=-3$，$b = 130$，根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为$x =-\frac{130}{2×(-3)}=\frac{65}{3}\approx21.7$。
因为$a=-3\lt0$，所以二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
又因为$x$为整数，所以分别计算$x = 21$和$x = 22$时的$y$值：
当$x = 21$时，$y=-3×21^{2}+130×21=-3×441 + 2730=-1323 + 2730 = 1407$元。
当$x = 22$时，$y=-3×22^{2}+130×22=-3×484+2860=-1452 + 2860 = 1408$元。
比较$1000$，$1407$，$1408$的大小，可得$1408\gt1407\gt1000$。
所以顾客一次性购买$22$件时，该网店从中获利最多。

9. 某低碳节能产品的年产量不超过 $ 100 $ 万件。该产品的生产费用 $ y $ 万元与年产量 $ x $ 万件之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分[如图(1)所示]。该产品的销售单价 $ z $ 元/件与年销售量 $ x $ 万件之间的函数图象是如图(2)所示的一条线段。生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡。

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 以及 $ z $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2) 设年产量为 $ x $ 万件时,所获毛利润为 $ w $ 万元,求 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；并求年产量为多少万件时,所获毛利润最大？最大毛利润是多少？(毛利润 $ = $ 销售额 $ - $ 生产费用)

答案：
(1) $y=\frac{1}{10}x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 100)$，$z=-\frac{1}{10}x+30(0 \leqslant x \leqslant 100)$
(2) $w=-\frac{1}{10}x^{2}+30x-\frac{1}{10}x^{2}=-\frac{1}{5}(x^{2}-150x)=-\frac{1}{5}(x-75)^{2}+1125(0 \leqslant x \leqslant 100)$,当年产量为 75 万件时,获得毛利润最大,最大毛利润为1 125 万元