《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 9 $,$ AC = 12 $,$ BC = 18 $,$ D $ 为 $ AC $ 上一点,$ DC = \frac{2}{3}AC $。在 $ AB $ 上取一点 $ E $,得 $ \triangle ADE $。若图中两个三角形相似,则 $ DE $ 的长是6或8。

答案： 6或8

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AE $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ \angle C = \angle E $,$ AD:DE = 3:5 $,$ AE = 8 $,$ BD = 4 $,则 $ DC = $$\frac{15}{4}$。

答案： $\frac{15}{4}$

7. 如图,$ \triangle ABC $,$ \triangle DCE $,$ \triangle FEG $ 是三个全等的等腰三角形,底边 $ BC $,$ CE $,$ EG $ 在同一直线上,且 $ AB = \sqrt{3} $,$ BC = 1 $。连接 $ BF $,分别交 $ AC $,$ DC $,$ DE $ 于点 $ P $,$ Q $,$ R $。
(1) 求证：$ \triangle BFG \sim \triangle FEG $；
(2) 求 $ BF $ 的长。

答案：
(1)
∵△ABC≌△DCE≌△FEG,
∴BC=CE=EG=$\frac{1}{3}$BG=1,即BG=3,FG=AB=$\sqrt{3}$.
∴$\frac{FG}{EG}=\frac{BG}{FG}$.又
∵∠BGF=∠FGE,
∴△BFG∽△FEG
(2)由△FEG是等腰三角形可知△BFG是等腰三角形,
∴BF=BG=3

8. 如图,$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 内的一点,$ E $ 是 $ \triangle ABC $ 外的一点,且 $ \angle 1 = \angle 2 $,$ \angle 3 = \angle 4 $。图中有与 $ \angle ACB $ 相等的角吗？如果有,请找出来并说明理由。

答案： 易证△ABD∽△CBE,
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$.又
∵∠1+∠DBC=∠2+∠DBC,即∠ABC=∠DBE,
∴△ABC∽△DBE.
∴∠ACB=∠DEB