《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

5. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ AB \perp AC $,$ AB = 3 $,$ AC = 4 $,$ P $ 是边 $ BC $ 上一点,作 $ PE \perp AB $ 于点 $ E $,$ PD \perp AC $ 于点 $ D $,设 $ BP = x $,则 $ PD + PE = $$3+\dfrac{x}{5}$。

答案： $3+\dfrac{x}{5}$

6. 如图,在 $ 3 × 4 $ 的方格上,每个方格的边长为 1 个单位,$ \triangle ABC $ 的顶点都在方格的格点位置。若点 $ D $ 在格点位置上(与点 $ A $ 不重合),且使以 $ D $,$ B $,$ C $ 为顶点的三角形与以 $ A $,$ B $,$ C $ 为顶点的三角形相似(不包括全等的情形),则符合条件的点 $ D $ 共有2个。

答案：
2

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD = DB $,$ \angle 1 = \angle 2 $。求证：$ \triangle ABC \sim \triangle EAD $。

答案： $\because AD=DB$, $\therefore \angle B=\angle BAD$. $\because \angle BDA=\angle 1+\angle C=\angle 2+\angle ADE$, $\therefore \angle C=\angle ADE$. $\therefore \triangle ABC \backsim \triangle EAD$

8. 如图,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle GAF $ 是两个全等的等腰直角三角形。找出图中的三对相似三角形(不包括全等),并选择其中一对加以证明。

答案： $\triangle ADC \backsim \triangle EDA$,$\triangle EDA \backsim \triangle EAB$, $\triangle ADC \backsim \triangle EAB$. 以 $\triangle ADC \backsim \triangle EDA$ 为例,证明如下: $\because \triangle ABC$ 和 $\triangle GAF$ 是两个全等的等腰直角三角形, $\therefore \angle B= \angle C= \angle FAG= \angle F=45^{\circ}$, $\angle BAC= \angle FGA=90^{\circ}$. $\because \angle ADC= \angle ADE$, $\angle AEB= \angle C+ \angle EAC= \angle DAE+ \angle EAC= \angle DAC$, $\therefore \triangle ADC \backsim \triangle EDA$

9. 如图,$ Rt \triangle ABC $ 和 $ Rt \triangle DEF $ 不相似,其中 $ \angle C $,$ \angle F $ 为直角,$ \angle A ＜ \angle D $。能否分别将两个三角形分割成两个三角形,使 $ \triangle ABC $ 所分的两个三角形与 $ \triangle DEF $ 所分的两个三角形分别相似？如果能够,请设计一个分割方案；如果不能,请说明理由。

答案：
能够分割,如图,在$\angle D$处作一个$\angle \alpha=\angle A$,交$EF$于点$N$,在$\angle B$中作一个$\angle \beta=\angle E$,交 $AC$ 于点 $M$,则可得$\triangle ABM \backsim \triangle DEN$.

$\because \angle BMC=\angle \alpha+\angle \beta$, $\angle DNF=\angle \alpha+\angle \beta$, $\therefore \angle BMC= \angle DNF$. $\because \angle C= \angle F=90^{\circ}$, $\therefore \triangle BCM \backsim \triangle DFN$