《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 已知函数 $ y = mx^2 - 6x + 1 $($ m $ 是常数)。
(1)求证：不论 $ m $ 为何值,该函数的图象都经过 $ y $ 轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与 $ x $ 轴只有一个交点,求 $ m $ 的值。

答案： （1）分m=0与m≠0讨论，这个定点为(0，1) （2）当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；当m≠0时，若函数y=mx²-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx²-6x+1=0有两个相等的实数根，(-6)²-4m=0，m=9.所以，若函数y=mx²-6x+1的图象与x轴只有一个交点，m的值为0或9

9. 已知抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A(m, 0) $,$ B(n, 0) $,且 $ m + n = 4 $,$ \frac{m}{n} = \frac{1}{3} $。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)设此抛物线与 $ y $ 轴的交点为 $ C $,过点 $ C $ 作一条平行于 $ x $ 轴的直线交抛物线于另一点 $ P $.求 $ \triangle ACP $ 的面积。

答案： 解：$(1) $由$m+n=1$和$\frac {m}n=\frac 13$可得$m=1，$$n=3$　　
∴$A(1，$$0)、$$B(3，$$0)$　　
将点$A、$$B$代入$y=-x^2+bx+c$可得$\begin{cases}-1+b+c=0\\-9+3b+c=0\end{cases}$　　
解得$\begin{cases}b=4\\c=-3\end{cases}$　　
∴此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+4x-3$　　
$(2)$令$x=0，$则$y=-3，$
∴$C(0，$$-3)$　　
∵$y=-x^2+4x-3$的对称轴为直线$x=2$　　
∴$P(4，$$-3)$　　
∴$S_{△ACP}=\frac 12×4×3=6$