《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

4. 函数 $ y = -x^2 + 4x + 3 $ 的图象开口向下,顶点坐标是（2，7）；当 $ x $＜2时,$ y $ 值随 $ x $ 值的增大而增大,当 $ x $＞2时,$ y $ 值随 $ x $ 的增大而减小.

答案： 下 （2，7） ＜2 ＞2

5. 若抛物线 $ y = -2x^2 + mx - 3 $ 的顶点在 $ x $ 轴正半轴上,则 $ m = $$2\sqrt{6}$.

答案： $2\sqrt{6}$

6. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图所示,对称轴是直线 $ x = -1 $. 有下列结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ 2a + b = 0 $；③ $ a - b + c ＞ 0 $；④ $ 4a - 2b + c ＜ 0 $. 其中正确的是①④.

答案： ①④

7. 用配方法将下列函数化成 $ y = a(x + h)^2 + k $ 的形式,并指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,画出函数图象.
(1) $ y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 $；
(2) $ y = (1 - x)(1 + 2x) $.

答案： （1）$y=$$\frac{1}{2}(x-2)^2+1$,开口向上,直线$x=2$,$(2,1)$ （2）$y=-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{9}{8}$,开口向下,直线$x=\frac{1}{4}$,$\left(\frac{1}{4},\frac{9}{8}\right)$

8. 已知抛物线 $ y = 4x^2 - 24x + 26 $.
(1) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 有最值；
(2) 当 $ x $ 为何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(3) 将该抛物线向右平移 2 个单位,再向上平移 2 个单位,试写出得到的新抛物线的函数表达式.

答案： （1）当$x=3$时,$y$有最小值$-10$ （2）$x＜3$ （3）$y=4(x-5)^2-$$8$

9. 复习课中,教师给出关于 $ x $ 的函数 $ y = 2kx^2 - (4k + 1)x - k + 1 $($ k $ 是实数).
教师：请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.
学生在黑板上写了一些结论. 教师作为活动一员,又补充了一些结论,并从中选出以下四条：
① 存在函数,其图象经过点 $ (1, 0) $；
② 函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③ 当 $ x ＞ 1 $ 时,不是 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大就是 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
④ 若函数有最大值,则最大值为正数,若函数有最小值,则最小值为负数.
教师：请你分别判断四条结论的真假,并给出理由. 最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

答案： ① 真,将$(1,0)$代入,得$2k-(4k+1)-k+1=0$,解得$k=0$;运用方程思想;② 假,反例:$k=0$时,只有两个交点;运用举反例的方法;③ 假,如$k=1$,$-\frac{b}{2a}=\frac{5}{4}$,当$x＞1$时,先减后增;运用举例的方法;④ 真,当$k=0$时,函数无最大、最小值;$k≠0$时,$y_{最}=\frac{4ac-b^2}{4a}=$$-\frac{24k^2+1}{8k}$,
∴当$k＞0$时,有最小值,最小值为负;当$k＜0$时,有最大值,最大值为正;运用分类讨论思想