《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 如图,某校九年级的一场篮球比赛中,队员甲正在投篮.已知球出手时离地面高 $ \frac{20}{9} $ m,与篮圈中心的水平距离为 7 m,当球出手后水平运动 4 m 时达到最大高度 4 m.设篮球运动的轨迹为抛物线,篮圈距地面 3 m.
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的函数表达式,并判断此球能否准确投中；
(2) 此时,若对方队员乙在甲前面 1 m 处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为 3.1 m,那么他能否获得成功？

答案： 1. （1）
解：
已知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 4)^{2}+4$。
因为球出手时离地面高$\frac{20}{9}m$，即当$x = 0$时，$y=\frac{20}{9}$。
把$x = 0$，$y=\frac{20}{9}$代入$y = a(x - 4)^{2}+4$中，得$\frac{20}{9}=a(0 - 4)^{2}+4$。
即$\frac{20}{9}=16a + 4$，移项可得$16a=\frac{20}{9}-4=\frac{20 - 36}{9}=-\frac{16}{9}$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
所以抛物线的函数表达式为$y =-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4$，展开得$y =-\frac{1}{9}(x^{2}-8x + 16)+4=-\frac{1}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{20}{9}$。
当$x = 7$时，$y =-\frac{1}{9}(7 - 4)^{2}+4$，根据$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 7$，$b = 4$，则$y =-\frac{1}{9}×9 + 4=-1 + 4=3$。
因为篮圈距地面$3m$，所以此球能准确投中。
2. （2）
解：
当$x = 1$时，把$x = 1$代入$y =-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4$中，$y =-\frac{1}{9}(1 - 4)^{2}+4$。
根据$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 1$，$b = 4$，则$y =-\frac{1}{9}×9+4=-1 + 4 = 3$。
因为$3\lt3.1$，所以乙能获得成功。
综上，（1）抛物线函数表达式为$y =-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4$（或$y =-\frac{1}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{20}{9}$），此球能准确投中；（2）乙能获得成功。

9. 如图,王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,球的飞行路线满足抛物线 $ y = -\frac{1}{5}x^{2} + \frac{8}{5}x $,其中 $ y $ m 是球的飞行高度,$ x $ m 是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有 2 m.
(1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；
(2) 请求出球飞行的最大水平距离；
(3) 若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,求出球飞行路线应满足的抛物线对应的函数表达式.

答案： 1. （1）
对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），在$y =-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$中，$a =-\frac{1}{5}\lt0$，$b=\frac{8}{5}$，$c = 0$。
①开口方向：
因为$a=-\frac{1}{5}\lt0$，所以抛物线开口向下。
②顶点坐标：
先将抛物线$y =-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x$化为顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$的形式，$y =-\frac{1}{5}(x^{2}-8x)=-\frac{1}{5}(x^{2}-8x + 16-16)=-\frac{1}{5}[(x - 4)^{2}-16]=-\frac{1}{5}(x - 4)^{2}+\frac{16}{5}$。
所以顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$。
③对称轴：
对称轴为直线$x = h$，所以对称轴为直线$x = 4$。
2. （2）
解：
当$y = 0$时，$-\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x = 0$。
提取公因式$-\frac{1}{5}x$得：$-\frac{1}{5}x(x - 8)=0$。
则$-\frac{1}{5}x=0$或$x - 8=0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=8$。
所以球飞行的最大水平距离是$8m$。
3. （3）
解：
因为球刚好进洞，此时球飞行的最大水平距离为$8 + 2=10m$，且球飞行的最大高度不变，即顶点的纵坐标为$\frac{16}{5}$。
设抛物线的表达式为$y=a(x - h)^{2}+k$，已知顶点坐标$(h,k)=(5,\frac{16}{5})$（因为对称轴$x=\frac{0 + 10}{2}=5$）。
把$(0,0)$代入$y=a(x - 5)^{2}+\frac{16}{5}$得：$0=a(0 - 5)^{2}+\frac{16}{5}$。
即$25a=-\frac{16}{5}$，解得$a=-\frac{16}{125}$。
所以球飞行路线应满足的抛物线对应的函数表达式为$y =-\frac{16}{125}(x - 5)^{2}+\frac{16}{5}$，展开得$y =-\frac{16}{125}x^{2}+\frac{32}{25}x$。
综上，（1）抛物线开口向下，顶点坐标为$(4,\frac{16}{5})$，对称轴为直线$x = 4$；（2）球飞行的最大水平距离是$8m$；（3）球飞行路线应满足的抛物线对应的函数表达式为$y =-\frac{16}{125}x^{2}+\frac{32}{25}x$。