《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

10. 如图,$ P $ 为 $ \triangle ABC $ 内一点,过点 $ P $ 作 $ DE $,$ FG $,$ IH $ 分别平行于 $ AB $,$ BC $,$ AC $。求证：
(1) $ \frac{IF}{AB} + \frac{DH}{BC} + \frac{GE}{AC} = 1 $；
(2) $ \frac{AI}{AB} + \frac{BD}{BC} + \frac{CG}{AC} = 1 $。

答案：
(1) $\because DE // AB$, $IH // AC$, $FG // BC$, $\therefore \angle IFP=\angle B$, $\angle FIP=\angle A$, 四边形 $IPEA$ 是平行四边形. $\therefore IP=AE$, $\triangle IFP \backsim \triangle ABC$. $\therefore \dfrac{IF}{AB}=\dfrac{IP}{AC}=\dfrac{AE}{AC}$.同理,$\dfrac{DH}{BC}=\dfrac{PH}{AC}=\dfrac{GC}{AC}$. $\therefore \dfrac{IF}{AB}+\dfrac{DH}{BC}+\dfrac{GE}{AC}=\dfrac{AE}{AC}+\dfrac{GC}{AC}+\dfrac{GE}{AC}=1$
(2) 仿照
(1)可得 $\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{EP}{AB}=\dfrac{EG}{AC}$, $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{FP}{BC}=\dfrac{IP}{AC}=\dfrac{AE}{AC}$. $\therefore \dfrac{AI}{AB}+\dfrac{BD}{BC}+\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{EG}{AC}+\dfrac{AE}{AC}+\dfrac{CG}{AC}=1$

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$P为AB$上一点.有下列四个条件：
①$∠ACP= ∠B$；②$∠APC= ∠ACB$；③$AC^{2}= AP\cdot AB$；④$AB\cdot CP= AP\cdot CB$.
其中,能满足$\triangle APC和\triangle ACB$相似的条件是(D).

A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③

答案： D

2. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$P是最短边AB上异于A$,$B$的一点,过点$P作直线截\triangle ABC$,所截得的三角形与原$\triangle ABC$相似,满足这样条件的直线共有(D).

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： D

3. 如图,在$□ ABCD$中,$AB = 10$,$AD = 6$,$E是AD$的中点.在$AB上取一点F$,使$\triangle CBF\backsim\triangle CDE$,则$BF$的长是(B).

A.5
B.1.8
C.8.2
D.6.4

答案： B

4. 如图,等边$\triangle ABC的边长为3$,$P为BC$上一点,且$BP = 1$.若$∠APD = 60^{\circ}$,且$PD交AC于点D$,则$CD = $$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$