《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

7. 如图,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长是 $ 12 \, m $,宽是 $ 4 \, m $。按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用 $ y = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c $ 表示,且抛物线上的点 $ C $ 到墙面 $ OB $ 的水平距离为 $ 3 \, m $,到地面 $ OA $ 的距离为 $ \frac{17}{2} \, m $。
(1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶 $ D $ 到地面 $ OA $ 的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 $ 6 \, m $,宽为 $ 4 \, m $,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过 $ 8 \, m $,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

答案： 1. （1）
已知矩形的长$OA = 12m$，宽$OB = 4m$，所以$B(0,4)$，$C(3,\frac{17}{2})$。
把$B(0,4)$，$C(3,\frac{17}{2})$代入$y =-\frac{1}{6}x^{2}+bx + c$中：
当$x = 0$，$y = 4$时，$c = 4$。
当$x = 3$，$y=\frac{17}{2}$，$c = 4$时，$\frac{17}{2}=-\frac{1}{6}×3^{2}+3b + 4$。
先计算$-\frac{1}{6}×3^{2}=-\frac{3}{2}$，则$\frac{17}{2}=-\frac{3}{2}+3b + 4$。
移项可得$3b=\frac{17}{2}+\frac{3}{2}-4$，$3b=\frac{17 + 3}{2}-4$，$3b = 10 - 4$，$3b = 6$，解得$b = 2$。
所以抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，这里$a =-\frac{1}{6}$，$b = 2$，对称轴$x=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{6})}=6$。
把$x = 6$代入$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4$得：$y=-\frac{1}{6}×6^{2}+2×6 + 4=-6 + 12 + 4 = 10$。
所以拱顶$D$到地面$OA$的距离是$10m$。
2. （2）
因为隧道内设双向行车道，宽为$4m$，则当$x = 4$时（$x = 12 - 4=8$与$x = 4$关于$x = 6$对称）。
把$x = 4$代入$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4$得：$y=-\frac{1}{6}×4^{2}+2×4 + 4=-\frac{16}{6}+8 + 4=\frac{-16 + 48+24}{6}=\frac{56}{6}=\frac{28}{3}\approx9.3\gt6$。
所以这辆货车能安全通过。
3. （3）
令$y = 8$，则$8=-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4$。
移项得$\frac{1}{6}x^{2}-2x + 4 = 0$，两边同乘$6$得$x^{2}-12x + 24 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-12,c = 24)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
其中$\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×1×24=144 - 96 = 48$。
$x=\frac{12\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{12\pm4\sqrt{3}}{2}=6\pm2\sqrt{3}$。
两排灯的水平距离$d=\vert x_{1}-x_{2}\vert=\vert(6 + 2\sqrt{3})-(6 - 2\sqrt{3})\vert=4\sqrt{3}$。
综上，（1）抛物线表达式为$y =-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4$，拱顶$D$到地面距离为$10m$；（2）能安全通过；（3）两排灯水平距离最小是$4\sqrt{3}m$。

8. 如图,排球运动员站在点 $ O $ 处练习发球,将球从点 $ O $ 正上方 $ 2 \, m $ 的 $ A $ 处发出。把球看成点,其运行的高度 $ y \, m $ 与运行的水平距离 $ x \, m $ 满足表达式 $ y = a(x - 6)^2 + h $。已知球网与点 $ O $ 的水平距离为 $ 9 \, m $,高度为 $ 2.43 \, m $,球场的边界距点 $ O $ 的水平距离为 $ 18 \, m $。
(1)当 $ h = 2.6 $ 时,求 $ y $ 关于 $ x $ 的表达式；(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(2)当 $ h = 2.6 $ 时,球能否越过球网？球会不会出界？说明理由；
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求 $ h $ 的取值范围。

答案：
(1) 根据函数图象上点的坐标可知,当$ x=0 $时,$ y=2 $,且$ h=2.6 $,得$ a=-\dfrac{1}{60} $,$\therefore\ y=-\dfrac{1}{60}(x-6)^{2}+2.6 $
(2) 当$ h=2.6 $时,$ y=-\dfrac{1}{60}(x-6)^{2}+2.6 $.当$ x=9 $时,$ y=-\dfrac{1}{60}×(9-6)^{2}+2.6=2.45＞2.43 $,$\therefore$ 球能越过网.当$ x=18 $时,$ y=-\dfrac{1}{60}×(18-6)^{2}+2.6=0.2＞0 $,$\therefore$ 球会出界
(3) 把$ x=0 $,$ y=2 $代入$ y=a(x-6)^{2}+h $得$ a=\dfrac{2-h}{36} $.球能过网,则$ y=\dfrac{2-h}{36}×(9-6)^{2}+h=\dfrac{2+3h}{4}＞2.43 $①;球不出边界,则$ y=\dfrac{2-h}{36}×(18-6)^{2}+h=8-3h\leqslant0 $②.由①②,得$ h\geqslant\dfrac{8}{3} $