《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

9. 如图,在矩形$OABC$中,$OA= 3$,$OC= 2$,$F是AB$上的一个动点($F不与A$,$B$重合),过点$F的反比例函数y= \frac{k}{x}(x＞0)的图象与边BC交于点E$。
(1) 当$F为AB$的中点时,求该函数的表达式；
(2) 当$k$为何值时,$\triangle EFA$的面积最大？最大面积是多少？

答案： 1. （1）
已知在矩形$OABC$中，$OA = 3$，$OC = 2$，则$A(3,0)$，$B(3,2)$，$C(0,2)$。
因为$F$是$AB$的中点，所以$F$点坐标为$(3,1)$。
又因为点$F(3,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\gt0)$的图象上，将$x = 3$，$y = 1$代入$y=\frac{k}{x}$中，根据$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$。
则$k = 3×1=3$，所以该函数的表达式为$y=\frac{3}{x}(x\gt0)$。
2. （2）
解：设$E$点坐标为$(\frac{k}{2},2)$，$F$点坐标为$(3,\frac{k}{3})$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = AF$，$h = BE$），$AF=\frac{k}{3}$，$BE = 3-\frac{k}{2}$。
则${S}_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}AF\cdot BE$，把$AF=\frac{k}{3}$，$BE = 3-\frac{k}{2}$代入可得：
${S}_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}×\frac{k}{3}×(3 - \frac{k}{2})$。
展开式子：${S}_{\triangle EFA}=\frac{1}{2}(\frac{k}{3}×3-\frac{k}{3}×\frac{k}{2})=\frac{1}{2}(k-\frac{k^{2}}{6})$。
进一步整理得${S}_{\triangle EFA}=-\frac{1}{12}k^{2}+\frac{1}{2}k$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a =-\frac{1}{12}$，$b=\frac{1}{2}$，$c = 0$，根据二次函数顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，$y = y|_{x = -\frac{b}{2a}}$。
先求$k$的值，$k=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{1}{2}}{2×(-\frac{1}{12})}$。
计算$-\frac{\frac{1}{2}}{2×(-\frac{1}{12})}=-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{6}} = 3$。
再求$S$的最大值，把$k = 3$代入${S}_{\triangle EFA}=-\frac{1}{12}k^{2}+\frac{1}{2}k$中，${S}_{\triangle EFA}=-\frac{1}{12}×3^{2}+\frac{1}{2}×3$。
先计算$-\frac{1}{12}×9+\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}+\frac{6}{4}=\frac{3}{4}$。
所以（1）函数表达式为$y = \frac{3}{x}(x\gt0)$；（2）当$k = 3$时，$\triangle EFA$的面积最大，最大面积是$\frac{3}{4}$。

1. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = kx - k $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k \neq 0 $)的图象可能是(A).

答案： A

2. 如图,反比例函数 $ y_1 = \frac{k_1}{x} $ 和正比例函数 $ y_2 = k_2x $ 的图象交于 $ A(-1, -3) $,$ B(1, 3) $ 两点.若 $ \frac{k_1}{x} ＞ k_2x $,则 $ x $ 的取值范围是(C).

A.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 1 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $

答案： C

3. 如图,矩形 $ ABCD $ 的对角线 $ BD $ 经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k^2 + 2k + 1}{x} $ 的图象上.若点 $ A $ 的坐标为 $ (-2, -2) $,则 $ k $ 的值为(D).

A.1
B.$ -3 $
C.4
D.1 或 $ -3 $

答案： D（提示：易知点 C 的横纵坐标之积为 4，则 $k^2 + 2k + 1 = 4$，可得 $k_1 = -3$，$k_2 = 1$）