《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

6. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = -1 $,且过点 $ \left( \dfrac{1}{2}, 0 \right) $. 有下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ a - 2b + 4c = 0 $；③ $ 25a - 10b + 4c = 0 $；④ $ 3b + 2c ＞ 0 $；⑤ $ a - b \geqslant m(am - b) $. 其中正确的有①③⑤.(写出所有正确结论的序号)

答案： ①③⑤

7. 已知二次函数 $ y = (m - 2)x^{2} + (m + 3)x + m + 2 $ 的图象过点 $ (0, 5) $.
(1)求二次函数的表达式；
(2)指出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.

答案： 1. （1）
解：因为二次函数$y=(m - 2)x^{2}+(m + 3)x + m + 2$的图象过点$(0,5)$，
把$x = 0$，$y = 5$代入函数$y=(m - 2)x^{2}+(m + 3)x + m + 2$中，得$m + 2 = 5$，
解得$m=3$。
把$m = 3$代入$y=(m - 2)x^{2}+(m + 3)x + m + 2$，
则$y=(3 - 2)x^{2}+(3 + 3)x+3 + 2$。
所以二次函数的表达式为$y=x^{2}+6x + 5$。
2. （2）
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
在$y=x^{2}+6x + 5$中，$a = 1$，$b = 6$，$c = 5$。
①求对称轴：
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，这里$a = 1$，$b = 6$，则对称轴$x=-\frac{6}{2×1}=-3$。
②求顶点坐标：
先求$y$的值，把$x=-3$代入$y=x^{2}+6x + 5$，$y=(-3)^{2}+6×(-3)+5$。
即$y = 9-18 + 5=-4$。
或者根据顶点坐标公式$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，$a = 1$，$b = 6$，$c = 5$，$\frac{4×1×5-6^{2}}{4×1}=\frac{20 - 36}{4}=\frac{-16}{4}=-4$。
所以二次函数$y=x^{2}+6x + 5$图象的顶点坐标为$(-3,-4)$，对称轴为直线$x=-3$。

8. 如图,直线 $ l $ 经过点 $ A(4, 0) $ 和 $ B(0, 4) $,它与抛物线 $ y = ax^{2} $ 在第一象限内交于点 $ P $,$ \triangle AOP $ 的面积为 $ \dfrac{9}{2} $. 求 $ a $ 的值.

答案： $\dfrac{36}{49}$