《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

20. 为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为 $ 80 m $ 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设 $ BC $ 的长度是 $ x m $,矩形区域 $ ABCD $ 的面积为 $ y m^2 $.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并注明自变量 $ x $ 的取值范围；
(2) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 有最大值？最大值是多少？

答案：
(1) 设$ AE = a $m.由题意,得$ AE \cdot AD = 2BE \cdot BC,AD = BC $,
∴$ BE = \frac{1}{2}a $m.
∴$ AB = \frac{3}{2}a $m.由题意,得$ 2x + 3a + 2 × \frac{1}{2}a = 80 $,
∴$ a = 20 - \frac{1}{2}x $.
∴$ y = AB \cdot BC = -\frac{3}{4}x^2 + 30x $.
∵$ BC ＞ 0,AE ＞ 0 $,
∴$ \begin{cases} x ＞ 0, \\ 20 - \frac{1}{2}x ＞ 0. \end{cases} $
∴$ 0 ＜ x ＜ 40 $
(2)$ y = -\frac{3}{4}x^2 + 30x = -\frac{3}{4}(x - 20)^2 + 300 $,
∵$ -\frac{3}{4} ＜ 0 $,
∴抛物线开口向下.又
∵$ 0 ＜ x ＜ 40 $,
∴当$ x = 20 $时,y有最大值,最大值为300

21. 蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,$ 1 $ 月份至 $ 6 $ 月份这种蔬菜的上市月份 $ x $ 与市场售价 $ P $ 元/kg 的关系如表所示：

这种蔬菜的种植成本 $ y $ 元/kg 与上市月份 $ x $ 满足某个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1) 写出上表中表示的市场售价 $ P $ 元/kg 关于上市月份 $ x $ 的函数表达式；
(2) 若抛物线过点 $ A $,$ B $,$ C $,写出抛物线对应的函数表达式；
(3) 由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？(收益 $ = $ 市场售价 $ - $ 种植成本)

答案： 1. （1）
设$P = kx + b$，将$(1,9.5)$，$(2,8)$代入$P = kx + b$得：
$\begin{cases}k + b = 9.5\\2k + b = 8\end{cases}$
用第一个方程$k + b = 9.5$减去第二个方程$2k + b = 8$得：
$(k + b)-(2k + b)=9.5 - 8$，即$k + b-2k - b = 1.5$，$-k = 1.5$，解得$k=-1.5$。
把$k = - 1.5$代入$k + b = 9.5$得：$-1.5 + b = 9.5$，解得$b = 11$。
所以$P=-1.5x + 11(1\leqslant x\leqslant6,x\in N)$。
2. （2）
设$y = ax^{2}+bx + c$，已知$A(2,6)$，$B(4,3)$，$C(6,2)$，代入$y = ax^{2}+bx + c$得：
$\begin{cases}4a + 2b + c = 6\\16a+4b + c = 3\\36a+6b + c = 2\end{cases}$
用$16a + 4b + c = 3$减去$4a + 2b + c = 6$得：
$(16a + 4b + c)-(4a + 2b + c)=3 - 6$，即$12a+2b=-3$，化简得$6a + b=-\frac{3}{2}$ ①。
用$36a + 6b + c = 2$减去$16a + 4b + c = 3$得：
$(36a + 6b + c)-(16a + 4b + c)=2 - 3$，即$20a+2b=-1$，化简得$10a + b=-\frac{1}{2}$ ②。
用②$-$①得：$(10a + b)-(6a + b)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$，即$4a = 1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
把$a=\frac{1}{4}$代入①得：$6×\frac{1}{4}+b=-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}+b=-\frac{3}{2}$，解得$b=-3$。
把$a=\frac{1}{4}$，$b = - 3$代入$4a + 2b + c = 6$得：$4×\frac{1}{4}+2×(-3)+c = 6$，$1-6 + c = 6$，解得$c = 11$。
所以$y=\frac{1}{4}x^{2}-3x + 11(1\leqslant x\leqslant6,x\in N)$。
3. （3）
设收益为$W$，则$W=P - y$。
$W=(-1.5x + 11)-(\frac{1}{4}x^{2}-3x + 11)$。
展开得$W=-1.5x + 11-\frac{1}{4}x^{2}+3x - 11$。
整理得$W=-\frac{1}{4}x^{2}+1.5x$，$W =-\frac{1}{4}(x^{2}-6x)$。
配方得$W=-\frac{1}{4}(x - 3)^{2}+\frac{9}{4}$。
因为$a =-\frac{1}{4}\lt0$，$1\leqslant x\leqslant6,x\in N$。
所以当$x = 3$时，$W$有最大值，$W_{max}=\frac{9}{4}=2.25$。
综上，（1）$P=-1.5x + 11(1\leqslant x\leqslant6,x\in N)$；（2）$y=\frac{1}{4}x^{2}-3x + 11(1\leqslant x\leqslant6,x\in N)$；（3）3月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大，最大值为$2.25$元。