《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 如图,正比例函数 $ y = \frac{1}{2}x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k \neq 0 $)在第一象限的图象交于点 $ A $,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ M $.已知 $ \triangle OAM $ 的面积为 1.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如果 $ B $ 为反比例函数在第一象限的图象上的点(点 $ B $ 与点 $ A $ 不重合),且点 $ B $ 的横坐标为 1,在 $ x $ 轴上求一点 $ P $,使 $ PA + PB $ 最小.

答案： （1）$y = \frac{2}{x}$（2）$\left(\frac{5}{3}, 0\right)$

9. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A(8, 1) $,$ B(0, -3) $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象经过点 $ A $,动直线 $ x = t $($ 0 ＜ t ＜ 8 $)与反比例函数的图象交于点 $ M $,与直线 $ AB $ 交于点 $ N $.
(1)求 $ k $ 的值；
(2)求 $ \triangle BMN $ 面积的最大值.

答案： （1）8（2）直线 AB 的表达式为 $y = \frac{1}{2}x - 3$.设 $M\left(t, \frac{8}{t}\right)$，$N\left(t, \frac{1}{2}t - 3\right)$，则 $MN = \frac{8}{t} - \frac{1}{2}t + 3$，$\therefore \triangle BMN$ 的面积 $S = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{t} - \frac{1}{2}t + 3\right)t = -\frac{1}{4}(t - 3)^2 + \frac{25}{4}$.$\because -\frac{1}{4} ＜ 0$，$\therefore S$ 有最大值.当 $t = 3$ 时，$\triangle BMN$ 面积的最大值为 $\frac{25}{4}$