《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

9. 如图,已知抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1, 0) $ 和点 $ B(3, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ BC $ 交抛物线的对称轴于点 $ E $,$ D $ 是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)直接写出点 $ C $ 和点 $ D $ 的坐标；
(3)若点 $ P $ 在第一象限内的抛物线上,且 $ S_{\triangle ABP} = 4S_{\triangle COE} $,求点 $ P $ 的坐标.

答案： 1. （1）
解：已知抛物线$y = -x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-1,0)$和$B(3,0)$。
把$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx + c$得$\begin{cases}-(-1)^{2}-b + c = 0\\-(3)^{2}+3b + c = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程：$(-9 + 3b + c)-(-1 - b + c)=0$，
去括号得$-9 + 3b + c + 1 + b - c = 0$，
合并同类项得$4b-8 = 0$，
解得$b = 2$。
把$b = 2$代入$-1 - b + c = 0$，得$-1-2 + c = 0$，解得$c = 3$。
所以抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
2. （2）
对于$y=-x^{2}+2x + 3$，当$x = 0$时，$y = 3$，所以$C(0,3)$。
由$y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，所以顶点$D(1,4)$。
3. （3）
先求$S_{\triangle COE}$：
对于直线$BC$，设直线$BC$的解析式为$y=mx + n$，把$B(3,0)$，$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n = 3\end{cases}$，所以直线$BC$的解析式为$y=-x + 3$。
抛物线对称轴为$x = 1$，把$x = 1$代入$y=-x + 3$得$y = 2$，所以$E(1,2)$。
则$S_{\triangle COE}=\frac{1}{2}× OC× x_E=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$。
因为$S_{\triangle ABP}=4S_{\triangle COE}$，所以$S_{\triangle ABP}=4×\frac{3}{2}=6$。
又$AB=3-(-1)=4$，设$P(x,y)(x\gt0,y\gt0)$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AB× y$。
即$\frac{1}{2}×4× y = 6$，解得$y = 3$。
把$y = 3$代入$y=-x^{2}+2x + 3$，得$-x^{2}+2x + 3 = 3$，
移项得$-x^{2}+2x=0$，即$x(-x + 2)=0$，
解得$x = 0$或$x = 2$，因为点$P$在第一象限，所以$x = 2$。
当$x = 2$时，$y=-2^{2}+2×2 + 3=3$，所以$P(2,3)$。
综上，（1）抛物线表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$；（2）$C(0,3)$，$D(1,4)$；（3）$P(2,3)$。

10. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,过点 $ (0, 2) $ 且平行于 $ x $ 轴的直线与直线 $ y = x - 1 $ 交于点 $ A $,点 $ A $ 关于直线 $ x = 1 $ 的对称点为 $ B $,抛物线 $ C_{1} : y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A $,$ B $.
(1)求点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2)求抛物线 $ C_{1} $ 的函数表达式及顶点坐标；
(3)若抛物线 $ C_{2} : y = ax^{2} $($ a \neq 0 $)与线段 $ AB $ 恰有一个公共点,结合函数的图象,求 $ a $ 的取值范围.

答案：
(1)$A(3,2),B(-1,2)$
(2)$C_{1}:y=x^{2}-2x-1$,顶点坐标为$(1,-2)$
(3)$\dfrac{2}{9}\leqslant a\lt 2$