《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

2. 若抛物线 $ y = x^{2} + ax + b $ 与 $ x $ 轴两个交点间的距离为 $ 2 $,且对称轴为直线 $ x = 1 $,将此抛物线向左平移 $ 2 $ 个单位,再向下平移 $ 3 $ 个单位,得到的抛物线过点(B).
A.$ (-3,-6) $
B.$ (-3,0) $
C.$ (-3,-5) $
D.$ (-3,-1) $

答案： B

3. 对于抛物线 $ y = -(x + 2)^{2} + 1 $,有下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 $ x = 2 $；③ 顶点坐标为 $ (-2,1) $；④ 当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.
其中正确结论的个数是(C).
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： C

4. 若抛物线 $ y = ax^{2} + x + c $ 与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标为 $ -1 $,则 $ a + c = $1.

答案： 1

5. 抛物线 $ y = x^{2} $ 与直线 $ y = 3x - 2 $ 的交点坐标是(1,1),(2,4).

答案： (1,1),(2,4)

6. 二次函数 $ y = x^{2} + kx + 1 $ 与 $ y = x^{2} - x - k $ 的图象有一个公共点在 $ x $ 轴上,则 $ k = $2.

答案： 2

7. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $.求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 3

8. 一次函数 $ y = x - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $.二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ A $,$ B $.
(1) 求点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2) 求二次函数的表达式及它的最小值.

答案： $(1)$ 求点$A$，$B$的坐标
- 对于一次函数$y = x - 3$：
求与$x$轴交点$A$的坐标：
当$y = 0$时，代入$y = x - 3$，可得$0=x - 3$，解得$x = 3$，所以$A(3,0)$。
求与$y$轴交点$B$的坐标：
当$x = 0$时，代入$y = x - 3$，可得$y=0 - 3=-3$，所以$B(0,-3)$。
$(2)$ 求二次函数的表达式及它的最小值
- **步骤一：求二次函数表达式
已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象经过点$A(3,0)$，$B(0,-3)$，将两点坐标代入二次函数：
把$B(0,-3)$代入$y = x^{2}+bx + c$，可得$c=-3$。
把$A(3,0)$，$c = - 3$代入$y = x^{2}+bx + c$，得到$0=3^{2}+3b-3$，即$9 + 3b-3 = 0$，化简得$3b=-6$，解得$b=-2$。
所以二次函数表达式为$y=x^{2}-2x - 3$。
- **步骤二：求二次函数的最小值
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，当$a\gt0$时，函数在$x =-\frac{b}{2a}$处取得最小值$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
对于$y=x^{2}-2x - 3$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c=-3$。
先求对称轴：$x=-\frac{-2}{2×1}=1$。
再求最小值：
将$a = 1$，$b=-2$，$c=-3$代入$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，可得$y=\frac{4×1×(-3)-(-2)^{2}}{4×1}=\frac{-12 - 4}{4}=\frac{-16}{4}=-4$。
综上，$(1)$$A(3,0)$，$B(0,-3)$；$(2)$二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^{2}-2x - 3}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$。