《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

4. 抛物线 $ y = 4x^{2} + 3 $ 的顶点坐标是 ((0，3)),对称轴是 y 轴,开口向 上.

答案： (0，3) y 轴 上

5. 已知点$(a,b)$在抛物线 $ y = 2x^{2} + 1 $ 上,则 $ 4a^{2} - 2b + 1 = $ -1.

答案： -1

6. 已知点 $ A(x_{1},2020) $,$ B(x_{2},2020) $ 是抛物线 $ y = x^{2} - 5 $ 上相异两点.当 $ x = x_{1} + x_{2} $ 时,二次函数 $ y = x^{2} - 5 $ 的值为-5.

答案： -5

7. 如图,两条抛物线 $ y_{1} = -\frac{1}{2}x^{2} + 1 $,$ y_{2} = -\frac{1}{2}x^{2} - 1 $ 与分别经过点$(-2,0)$,$(2,0)$且平行于 $ y $ 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为8.

答案： 8

8. 已知抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点$(2,-8)$.
(1) 画出 $ y = ax^{2} $ 的图象；
(2) 将上述抛物线向下平移 3 个单位,画出平移后的抛物线并求所得抛物线的函数表达式；
(3) 若点 $ A $ 为抛物线 $ y = ax^{2} $ 上一点,直线 $ AB $ 垂直于 $ x $ 轴,线段 $ AB = 5 $,沿 $ y $ 轴平移抛物线 $ y = ax^{2} $ 使之过点 $ B $,求平移后所得抛物线的函数表达式.

答案：
(1)略
(2)图略，$y=-2x^{2}-3$
(3)$y=-2x^{2}+5$或$y=-2x^{2}-5$

9. 已知二次函数 $ y = x^{2} + 1 $.
(1) 画出函数 $ y = x^{2} + 1 $ 的图象；
(2) 将抛物线 $ y = x^{2} + 1 $ 以 $ x $ 轴为对称轴进行翻折,画出该抛物线；
(3) 求翻折后得到的抛物线的函数表达式.

答案： $(1)$ 画函数$y = x^{2}+1$的图象
先列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=x^{2}+1$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ |
然后在平面直角坐标系中描点$(-2,5)$，$(-1,2)$，$(0,1)$，$(1,2)$，$(2,5)$，最后用平滑曲线连接这些点，得到$y = x^{2}+1$的图象（此图象是一条开口向上，对称轴为$y$轴（$x = 0$），顶点坐标为$(0,1)$的抛物线）。
$(2)$ 画翻折后的抛物线
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。
原抛物线$y = x^{2}+1$上的点$(x,y)$关于$x$轴对称的点为$(x,-y)$，所以翻折后的抛物线经过的点为$(-2,-5)$，$(-1,-2)$，$(0,-1)$，$(1,-2)$，$(2,-5)$，用平滑曲线连接这些点，得到翻折后的抛物线（此图象是一条开口向下，对称轴为$y$轴（$x = 0$），顶点坐标为$(0, - 1)$的抛物线）。
$(3)$ 求翻折后抛物线的函数表达式
解：设翻折后抛物线的函数表达式为$y = ax^{2}+bx + c$。
对于原抛物线$y=x^{2}+1$，将其以$x$轴为对称轴翻折，根据关于$x$轴对称的性质，对于任意一点$(x,y)$在原抛物线上，其对称点$(x,-y)$在翻折后的抛物线上。
即$-y=x^{2}+1$，所以$y=-x^{2}-1$。
所以翻折后得到的抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}-1$。