《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,以 $BC$ 为边向外作正方形 $BEDC$,连接 $AE$ 交 $BC$ 于点 $F$,作 $FG // BE$ 交 $AB$ 于点 $G$。求证：$FG = FC$。

答案： 由$FG // BE$,得$\triangle AFG \backsim \triangle AEB$,则$\frac{FG}{EB}=\frac{AF}{AE}$.再由正方形的性质及相似三角形的性质,得$\frac{FC}{ED}=\frac{AF}{AE}$,$\because EB=ED$,$\therefore$由$\frac{FC}{ED}=\frac{FG}{EB}$,得$FC=FG$

8. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB // CD$,且 $AB = 2CD$,$E$,$F$ 分别是 $AB$ 和 $BC$ 的中点,$EF$ 与 $BD$ 相交于点 $M$。求证：$DM = 2BM$。

答案： 连接$DE$,由$AB=2CD$,$AB=2BE$,得$CD=BE$,易证四边形$BCDE$是平行四边形.根据平行四边形的性质得$BC // DE$,$BC=DE$.再证明$\triangle DEM \backsim \triangle BFM$,得到$BM:DM=BF:DE$,而$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}DE$,$\therefore DM=2BM$

9. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BCA = 90^{\circ}$,$\angle DCA = 30^{\circ}$,$AC = \sqrt{3}$,$AD = \frac{\sqrt{7}}{3}$。求 $BC$ 的长。

答案： 2 或 5

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 在 $AD$ 上,$EF\perp BE$ 且交 $CD$ 于点 $F$。连接 $BF$,则图中与 $\triangle ABE$ 一定相似的三角形是(B)。

A.$\triangle EFB$
B.$\triangle DEF$
C.$\triangle CFB$
D.$\triangle EFB$ 和 $\triangle DEF$

答案： B

2. 如图,$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,且 $AB// CD$,$E$,$F$ 分别是 $AC$,$BD$ 的中点。若 $AB = 5$,$CD = 3$,则 $EF$ 的长为(D)。

A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$

答案： D