《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

1. 某车的刹车距离 $ y $ m 与刹车时的速度 $ x $ m/s 之间满足二次函数 $ y = \frac{1}{20}x^{2}(x ＞ 0) $。若该车某次的刹车距离为 $ 5 $ m,则刹车时的速度为(C)。
A.$ 40 $ m/s
B.$ 20 $ m/s
C.$ 10 $ m/s
D.$ 5 $ m/s

答案： C

2. 某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润 $ y $ 元与降价金额 $ x $ 元之间的关系是 $ y = -2x^{2} + 60x + 800 $,则利润获得最多为(D)。
A.$ 15 $ 元
B.$ 400 $ 元
C.$ 800 $ 元
D.$ 1250 $ 元

答案： D

3. 生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产。现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的月利润 $ y $ 万元和月份 $ n $ 之间的函数表达式为 $ y = -n^{2} + 14n - 24 $,则该企业一年中应停产的月份是(C)。
A.$ 1 $ 月、$ 2 $ 月、$ 3 $ 月
B.$ 2 $ 月、$ 3 $ 月、$ 4 $ 月
C.$ 1 $ 月、$ 2 $ 月、$ 12 $ 月
D.$ 1 $ 月、$ 11 $ 月、$ 12 $ 月

答案： C

4. 甲、乙两船航行于海上,甲船的位置在乙船北方 $ 125 $ km,以 $ 15 $ km/h 的速度向东行驶,乙船以 $ 20 $ km/h 的速度向北行驶。则经过4h 两船相距最近,最近距离为75 km。

答案： 4 75 km

5. 将进货单价为 $ 70 $ 元的某种商品按零售价 $ 100 $ 元售出时,每天能卖出 $ 20 $ 个。若这种商品的零售价在一定范围内每降价 $ 1 $ 元,其日销售量就增加 $ 1 $ 个。为了获得最大利润,则应降价5元,最大利润为625元。

答案： 5 625

6. 某种商品的进价为 $ 30 $ 元/件,在某段时间内若以每件 $ x $ 元出售,可卖出 $ (200 - x) $ 件。当定价为115 元时能使利润最大,最大利润为7225 元。

答案： 115 元 7 225 元

7. 某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利 $ 10 $ 元,每天可售出 $ 500 $ kg。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 $ 1 $ 元,日销售量将减少 $ 20 $ kg。
(1) 若商场只要求保证每天的盈利为 $ 6000 $ 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价多少元？
(2) 当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多？最多是多少？

答案： $(1)$ 求每千克应涨价多少元
设每千克应涨价$x$元，则每千克盈利$(10 + x)$元，日销售量为$(500 - 20x)$千克。
根据“总盈利$=$每千克盈利$×$销售量”，可列方程$(10 + x)(500 - 20x)=6000$。
展开方程左边得：
$\begin{aligned}(10 + x)(500 - 20x)&=10×500-10×20x + 500x-20x^{2}\\&=5000-200x + 500x-20x^{2}\\&=5000 + 300x-20x^{2}\end{aligned}$
则原方程化为$5000 + 300x-20x^{2}=6000$，移项化为标准的一元二次方程形式$20x^{2}-300x + 1000 = 0$，两边同时除以$20$得$x^{2}-15x + 50 = 0$。
分解因式得$(x - 5)(x - 10)=0$，则$x - 5 = 0$或$x - 10 = 0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=10$。
因为要使顾客得到实惠，所以$x$越小越好，故舍去$x = 10$，取$x = 5$。
$(2)$ 求每天盈利的最大值
设每天的盈利为$y$元，由$(1)$可得$y=(10 + x)(500 - 20x)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=10×500-10×20x + 500x-20x^{2}\\&=5000-200x + 500x-20x^{2}\\&=-20x^{2}+300x + 5000\end{aligned}$
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），这里$a=-20$，$b = 300$，$c = 5000$。
根据二次函数的顶点公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$x=-\frac{300}{2×(-20)}=\frac{300}{40}=7.5$。
把$x = 7.5$代入$y=-20x^{2}+300x + 5000$得：
$\begin{aligned}y&=-20×(7.5)^{2}+300×7.5 + 5000\\&=-20×56.25+2250 + 5000\\&=-1125+2250 + 5000\\&=1125 + 5000\\&=6125\end{aligned}$
综上，$(1)$ 每千克应涨价$\boldsymbol{5}$元；$(2)$ 当每千克涨价$\boldsymbol{7.5}$元时，每天盈利最多，最多是$\boldsymbol{6125}$元。