《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

12. 二次函数 $ y = x^2 - 6x + c $ 的图象的顶点与原点的距离为 $ 5 $,则 $ c = $5或13.

答案： 5或13

13. 抛物线 $ y = -x^2 + 3x - 2 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是(0,-2),与 $ x $ 轴的交点坐标是(1,0),(2,0).

答案： (0,-2) (1,0),(2,0)

14. 有下列函数：① $ y = 2x $；② $ y = 2 - x $；③ $ y = \frac{2}{x} $；④ $ y = x^2 + 6x + 8 $.其中,当 $ -2 ＜ x ＜ 2 $ 时,函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而增大的是①④.(填序号)

答案： ①④

15. 若反比例函数 $ y = \frac{b - 3}{x} $ 和一次函数 $ y = 3x + b $ 的图象有两个交点,且有一个交点的纵坐标为 $ 6 $,则 $ b = $5.

答案： 5

16. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 的图象如图所示.根据图象解答下列问题：
(1) 写出方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根；
(2) 写出不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集；
(3) 写出 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的自变量 $ x $ 的取值范围；
(4) 若方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 1. （1）
解：方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交点的横坐标。
由图象可知，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴交点的横坐标为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根为$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
2. （2）
解：不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围。
由图象可知，当$1\lt x\lt3$时，函数图象在$x$轴上方。
所以不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集为$\{x|1\lt x\lt3\}$。
3. （3）
解：对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴为$x =-\frac{b}{2a}$，由图象可知对称轴$x = 2$，且$a\lt0$（图象开口向下）。
当$a\lt0$时，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
所以$y$随$x$的增大而减小的自变量$x$的取值范围是$x\geq2$。
4. （4）
解：方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，即$y = ax^{2}+bx + c$与$y = k$的图象有两个交点。
由图象可知，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的最大值为$y = 2$。
所以当$k\lt2$时，$y = ax^{2}+bx + c$与$y = k$的图象有两个交点，即方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根。
综上，答案依次为：（1）$x_1 = 1$，$x_2 = 3$；（2）$\{x|1\lt x\lt3\}$；（3）$x\geq2$；（4）$k\lt2$。

17. 如图,$ A(4, a) $,$ B(-2, -4) $ 是一次函数 $ y_1 = kx + b $ 图象和反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $ 图象的交点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积.

答案： 1. （1）
因为点$B(-2,-4)$在反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}$的图象上，将$x = - 2$，$y=-4$代入$y_{2}=\frac{m}{x}$中，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）的性质$k = xy$，可得：
$m=(-2)×(-4)=8$，所以反比例函数的表达式为$y_{2}=\frac{8}{x}$。
因为点$A(4,a)$在反比例函数$y_{2}=\frac{8}{x}$的图象上，将$x = 4$代入$y_{2}=\frac{8}{x}$中，可得$a=\frac{8}{4}=2$，所以$A(4,2)$。
因为$A(4,2)$，$B(-2,-4)$在一次函数$y_{1}=kx + b$的图象上，将$\begin{cases}x = 4,y = 2\\x=-2,y=-4\end{cases}$代入$y_{1}=kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}4k + b=2\\-2k + b=-4\end{cases}$。
用第一个方程$4k + b=2$减去第二个方程$-2k + b=-4$，即$(4k + b)-(-2k + b)=2-(-4)$。
去括号得$4k + b + 2k - b=2 + 4$。
合并同类项得$6k=6$，解得$k = 1$。
把$k = 1$代入$4k + b=2$中，得$4×1 + b=2$，即$4 + b=2$，解得$b=-2$。
所以一次函数的表达式为$y_{1}=x - 2$。
2. （2）
设直线$y=x - 2$与$y$轴交点为$C$，令$x = 0$，则$y=-2$，所以$C(0,-2)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle AOB$的面积$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$。
对于$\triangle AOC$，以$OC$为底，$A$点横坐标的绝对值为高，$OC=\vert-2\vert = 2$，$A$点横坐标$x_{A}=4$，则$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×\vert-2\vert×4$；对于$\triangle BOC$，以$OC$为底，$B$点横坐标的绝对值为高，$B$点横坐标$x_{B}=-2$，则$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×\vert-2\vert×\vert-2\vert$。
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×2×2$。
先计算$\frac{1}{2}×2×4 = 4$，$\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
所以$S_{\triangle AOB}=4 + 2=6$。
综上，（1）反比例函数表达式为$y_{2}=\boldsymbol{\frac{8}{x}}$，一次函数表达式为$y_{1}=\boldsymbol{x - 2}$；（2）$\triangle AOB$的面积为$\boldsymbol{6}$。