《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

例2 如图,已知AC= BD,∠A= ∠B,点E,F在AB上,且DE//CF,试说明这个图形是中心对称图形.

答案：
【点拨】掌握中心对称图形的概念：中心对称图形旋转180°后两部分重合.
【解】如图,连接CD,交AB于点O.

在△ACO与△BDO中,
{∠COA= ∠DOB,
∠A= ∠B,
AC= BD,
∴△ACO≌△BDO(AAS),
∴OA= OB,OC= OD.
∵DE//CF,
∴∠DEO= ∠CFO.
在△ODE和△OCF中,
{∠DEO= ∠CFO,
∠DOE= ∠COF,
OD= OC,
∴△ODE≌△OCF(AAS),
∴OE= OF,
∴这是中心对称图形.

例3 如图,已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,且点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.

(1)求证：AC= CD；
(2)若∠BAC= 2∠MPC,判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.

答案： 【点拨】此题主要考查中心对称的性质及全等三角形的性质等知识. 根据题意得出对应角相等,进而得出结论.
【解】
(1)证明：
∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴△ABM≌△ACM,
∴AB= AC.
又
∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,
∴△ABE≌△DCE,
∴AB= CD,
∴AC= CD.
(2)∠F= ∠MCD.
理由：由
(1)可得∠BAE= ∠CAE= ∠CDE,∠CMA= ∠BMA.
又
∵∠BAC= 2∠MPC,∠BMA= ∠PMF.
∴设∠MPC= α,
则∠BAE= ∠CAE= ∠CDE= α；
设∠BMA= β,则∠PMF= ∠CMA= β.
∴∠F= ∠MPC-∠PMF= α-β,
∠MCD= ∠CDE-∠DMC= α-β,
∴∠F= ∠MCD.