《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

20. 如图,已知射线$CB// OA$,$\angle C= \angle OAB= 100^{\circ }$,点$E$,$F在CB$上,且满足$\angle FOB= \angle AOB$,$OE平分\angle COF$.
(1)求$\angle EOB$的度数.
(2)若在$OC右侧左右平行移动AB$,那么$\angle OBC:\angle OFC$的值是否随之发生变化？若变化,请找出变化规律；若不变,请求出这个比值.
(3)在$OC右侧左右平行移动AB$的过程中,是否存在$\angle OEC= \angle OBA$的情况？若存在,请直接写出$\angle OEC$度数；若不存在,请说明理由.

答案： 1. （1）
因为$CB// OA$，$\angle C = 100^{\circ}$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle COA=180^{\circ}-\angle C = 80^{\circ}$。
因为$OE$平分$\angle COF$，所以$\angle COE=\angle EOF$，又因为$\angle FOB = \angle AOB$。
则$\angle EOB=\angle EOF+\angle FOB=\frac{1}{2}(\angle COF+\angle FOA)=\frac{1}{2}\angle COA$。
把$\angle COA = 80^{\circ}$代入，得$\angle EOB = 40^{\circ}$。
2. （2）
因为$CB// OA$，所以$\angle OBC=\angle BOA$，$\angle OFC=\angle FOA$。
又因为$\angle FOB=\angle AOB$，所以$\angle FOA = 2\angle BOA$。
所以$\angle OBC:\angle OFC=\angle BOA:\angle FOA = 1:2$，比值不变。
3. （3）
设$\angle AOB=x$，则$\angle FOB=x$，$\angle COE=\angle EOF = 40^{\circ}-x$。
因为$CB// OA$，$\angle OAB = 100^{\circ}$，所以$\angle ABC = 80^{\circ}$。
若$\angle OEC=\angle OBA$，$\angle OEC=\angle EOA+\angle AOE$（外角定理，$\angle EOA = 80^{\circ}$，$\angle AOE=\angle EOF+\angle FOB=40^{\circ}-x + x=40^{\circ}$不成立，这里用平行线性质和三角形内角和来求）。
因为$CB// OA$，所以$\angle OEC=\angle EOA$（两直线平行，内错角相等），$\angle OBA = 180^{\circ}-\angle OAB-\angle AOB$，又$\angle OEC=\angle OBA$，$\angle EOA=80^{\circ}$，$\angle OAB = 100^{\circ}$。
由$\angle OEC=\angle OBA$，根据三角形内角和，在$\triangle OAB$中，$\angle OBA=180^{\circ}-\angle OAB-\angle AOB$，在$\triangle OCE$中，$\angle OEC = 180^{\circ}-\angle C-\angle COE$。
因为$\angle C=\angle OAB = 100^{\circ}$，$\angle COE=\angle EOF$，$\angle AOB=\angle FOB$，且$\angle EOF+\angle FOB = 40^{\circ}$。
设$\angle AOB = y$，则$\angle COE=40^{\circ}-y$，$\angle OEC=180^{\circ}-100^{\circ}-(40^{\circ}-y)=40^{\circ}+y$，$\angle OBA=180^{\circ}-100^{\circ}-y = 80^{\circ}-y$。
令$40^{\circ}+y=80^{\circ}-y$，解得$y = 20^{\circ}$。
则$\angle OEC=60^{\circ}$。
综上，（1）$\angle EOB = 40^{\circ}$；（2）比值不变，$\angle OBC:\angle OFC = 1:2$；（3）存在，$\angle OEC = 60^{\circ}$。

1. 下列运动属于旋转的是(B)
A.篮球滚动
B.风车转动
C.气球升空
D.一个图形沿某条直线对折

答案： B

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB= 45^{\circ}$,将$\triangle ABC在平面内绕点A旋转到\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$的位置. 若$\angle CAB^{\prime}=25^{\circ}$,则旋转角的度数为(B)

A.$25^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
]

答案： B