《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

例3 若$x^{n}-y^{n}因式分解的结果为(x^{2}+y^{2})(x + y)(x - y)$,求$n$的值.

答案： 【点拨】因式分解与整式乘法是互逆运算,可以将因式分解的结果进行乘法运算,得到原多项式.
$\because (x^{2} + y^{2})(x + y)(x - y)$
$=(x^{2} + y^{2})(x^{2} - y^{2})$
$=x^{4} - y^{4}$
根据因式分解与整式乘法的互逆关系，已知$x^{n} - y^{n}$因式分解结果为$(x^{2} + y^{2})(x + y)(x - y)$，所以$x^{n} - y^{n}=x^{4} - y^{4}$。
则$n = 4$。

例4 分解因式$x^{2}+ax + b$时,甲看错了$a$的值,分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$；乙看错了$b$的值,分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$. $x^{2}+ax + b$因式分解的正确结果是什么?

答案： 【点拨】根据甲看错了$a$的值,分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$,可求出$b$的值；根据乙看错了$b$的值,分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$,可求出$a$的值,进而因式分解即可.
【解】$\because分解因式x^{2}+ax + b$,甲看错了$a$的值,分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$,
且$(x - 3)(x + 2)= x^{2}-x - 6$,
$\therefore b = - 6$.
$\because乙看错了b$的值,分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$,
且$(x - 2)(x - 3)= x^{2}-5x + 6$,
$\therefore a = - 5$,
$\therefore x^{2}+ax + b= x^{2}-5x - 6= (x + 1)(x - 6)$.
故正确的结果为$(x + 1)(x - 6)$.

1. 下列从左边到右边的变形,属于因式分解的是(C)
A.$6a^{2}b^{2}= 3ab\cdot2ab$
B.$(x + 1)(x - 1)= x^{2}-1$
C.$x^{2}-4x + 4= (x - 2)^{2}$
D.$x^{2}-x - 2= x(x - 1)-2$

答案： C

2. 下列从左边到右边的变形,属于因式分解的个数为(B)
①$a(x + y)= ax + ay$；
②$10x^{2}-5x= 5x(2x - 1)$；
③$2mR + 2mr= 2m(R + r)$.

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： B

3. 已知多项式$x^{2}-2x + k$有一个因式为$x - 1$,则$k$的值为(B)
A.$-3$
B.1
C.$-1$
D.不能确定

答案： B

4. 对于$(x + y)(x - y)= x^{2}-y^{2}$,从左边到右边的变形是整式乘法,从右边到左边的变形是因式分解.

答案： 整式乘法 因式分解

5. $(x + 3)(2x - 1)$是多项式$2x^{2}+5x-3$因式分解的结果.

答案： $2x^{2}+5x-3$

6. (1)把多项式$am + bm - cm$因式分解；
(2)已知关于$x的二次三项式2x^{2}+mx + n因式分解的结果是(2x - 1)(x+\frac{1}{4})$,求$m$,$n$的值.

答案： 解:
(1)$am+bm-cm=m(a+b-c).$
(2)$\because (2x-1)(x+\frac {1}{4})$$=2x^{2}+\frac {1}{2}x-x-\frac {1}{4}$$=2x^{2}-\frac {1}{2}x-\frac {1}{4},$$\therefore m=-\frac {1}{2},n=-\frac {1}{4}.$