《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

例3 如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD,∠ABC的平分线AF,BG分别与线段CD交于点F,G,AF与BG交于点E.
(1)求证：AF⊥BG,DF= CG；
(2)若AB= 10,AD= 6,AF= 8,求FG和BG的长度.

答案：
【点拨】此题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及勾股定理等知识,综合性较强,难度较大,注意掌握数形结合思想的应用及辅助线的作法.
【解】
(1)
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF= ∠BAF= $\frac {1}{2}$∠BAD.
∵BG平分∠ABC,
∴∠ABG= ∠CBG= $\frac {1}{2}$∠ABC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD,AD= BC,
∴∠BAD+∠ABC= 180°,
即2∠BAF+2∠ABG= 180°.
∴∠BAF+∠ABG= 90°,
∴∠AEB= 180°-(∠BAF+∠ABG)
=180°-90°= 90°,
∴AF⊥BG.
∵AB//CD,
∴∠BAF= ∠AFD,
∴∠AFD= ∠DAF,
∴DF= AD.
∵AB//CD,
∴∠ABG= ∠CGB,
∴∠CBG= ∠CGB,
∴CG= BC.
∵AD= BC,
∴DF= CG.
(2)
∵DF= AD= 6,
∴CG= DF= 6,
∴CG+DF= 12.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD= AB= 10,
∴10+FG= 12,
∴FG= 2.
如图,过点B作BH//AF,交DC的延长线于点H,
则∠GBH= ∠AEB= 90°.
∵AF//BH,AB//FH,
∴四边形ABHF为平行四边形.
∴BH= AF= 8,FH= AB= 10.
∴GH= FG+FH= 2+10= 12.
在Rt△BHG中,
BG= $\sqrt {GH^{2}-BH^{2}}$= 4$\sqrt {5}$,
∴FG的长度为2,BG的长度为4$\sqrt {5}$.