《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

20. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC= \angle ADC= 45^{\circ}$,将$\triangle BCD绕点C$顺时针旋转一定角度后,点$B的对应点恰好与点A$重合,得到$\triangle ACE$.
(1)求证：$AE\perp BD$；
(2)若$AD= 1$,$CD= 2$,试求四边形$ABCD的对角线BD$的长.
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答案：
(1)证明:由题意可得AC=BC.又
∵∠ABC=45°,
∴∠BCA=90°.设BD与AC,AE分别交于点M,N,
∵∠AMN=∠BMC,∠CAE=∠CBD,
∴∠ANM=∠MCB=90°,即AE⊥BD.
(2)解:连接DE,
∵∠BCD=∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB=90°.
∵CD=CE=2,
∴DE²=8,∠CDE=45°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵AD=1,
∴AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=3,
∴BD=AE=3.

21. 将两块全等的三角尺按图1所示的方式摆放,其中$\angle A_{1}CB_{1}= \angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle A_{1}= \angle A= 30^{\circ}$.
(1)将图1中的$\triangle A_{1}B_{1}C绕点C顺时针旋转45^{\circ}$得图2,点$P_{1}是A_{1}C与AB$的交点,点$Q是A_{1}B_{1}与BC$的交点,求证：$CP_{1}= CQ$；
(2)在图2中,若$AP_{1}= 2$,则$CQ$等于多少？
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答案：

(1)证明:
∵△A₁CB₁≌△ACB,
∴CA₁=CA.
∵图1中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图2,
∴∠B₁CB=∠A₁CA=45°,
∴∠BCA₁=45°.在△CQA₁和△CP₁A中,$\begin{cases} \angle QCA₁=\angle P₁CA \\ CA₁=CA \\ \angle A₁=\angle A \end{cases}$
∴△CQA₁≌△CP₁A.
∴CP₁=CQ.
(2)解:如图,过点P₁作P₁P⊥AC于点P.在Rt△AP₁P中,
∵∠A=30°,
∴P₁P=$\frac{1}{2}$AP₁=$\frac{1}{2}$×2=1.在Rt△CP₁P中,
∵∠P₁CP=45°,
∴CP=P₁P=1.
∴CP₁=$\sqrt{2}$P₁P=$\sqrt{2}$
∴CQ=CP₁=$\sqrt{2}$