《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

例4 为了响应“绿色出行,从身边做起”的号召,小李将上班方式由自驾车改为骑共享单车.他从家到达上班地点,自驾车要走的路程为8.4km,骑共享单车要走的路程为6km.已知小李自驾车的速度是骑共享单车速度的2.4倍,他由自驾车改为骑共享单车后,时间多用了10min,则小李自驾车和骑共享单车的速度分别是多少？

答案： 【点拨】设骑共享单车的速度为$x$km/h,则自驾车的速度是$2.4x$km/h.根据“骑共享单车的时间 - 自驾车的时间 = 10min”,列分式方程求解.
设骑共享单车的速度为 $x$ km/h，则自驾车速度为 $2.4x$ km/h。
根据题意，骑共享单车所用时间减去自驾车所用时间等于10分钟（即 $\frac{1}{6}$ 小时），列方程：
$\frac{6}{x} - \frac{8.4}{2.4x} = \frac{1}{6}$
方程两边同时乘以 $2.4x$，得：
$14.4 - 8.4 = 0.4x$
解得：
$x = 15$
检验：将 $x = 15$ 代入原方程分母，$x \neq 0$ 且 $2.4x \neq 0$，满足条件。
自驾车速度为：
$2.4x = 36$
答：小李自驾车速度为 $36$ km/h，骑共享单车速度为 $15$ km/h。

例5 已知一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍,用这台机器收割10hm^2小麦比80个农民人工收割这些小麦少用1h.
(1)这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
(2)通过技术革新,这台收割机的工作效率得到了提升,收割10hm^2小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用0.8h.求技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的多少倍.

答案： 【点拨】
(1)设一个农民每小时收割小麦$x$hm^2,则这台收割机每小时收割$120x$hm^2,由题意得到关于$x$的分式方程,求解并检验即可.
(1) 设一个农民每小时收割小麦 $x \, hm^2$，则这台收割机每小时收割 $120x \, hm^2$。
由题意，方程为：
$\frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x}$，
解得$x = \frac{1}{24}$，
经检验，$x = \frac{1}{24}$ 是原方程的解，
$\therefore 120x = 120 × \frac{1}{24} = 5$，
答：这台收割机每小时收割 $5 \, hm^2$ 小麦。
(2) 设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 $n$ 倍。
由
(1) 知，一个农民每小时收割 $\frac{1}{24} \, hm^2$，一台收割机每小时收割 $\frac{n}{24} \, hm^2$。
由题意，方程为：
$\frac{10}{100 × \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8$，
即$\frac{24 × 10}{100} = \frac{24 × 10}{n} + 0.8$，
化简得：
$2.4 = \frac{240}{n} + 0.8$，
移项并化简：
$\frac{240}{n} = 1.6$，
解得$n = 150$，
经检验，$n = 150$ 是原方程的解。
答：技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 $150$ 倍。