《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

24. 若关于$x的分式方程\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^2 - 4} = \frac{3}{x + 2}$有增根,求$m$的值.

答案： 解:方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得$2(x+2)+mx=3(x-2)$.
∵分式方程有增根,
∴$(x+2)(x-2)=0$,
∴$x+2=0$或$x-2=0$.解得$x=-2$或$x=2$.当$x=-2$时,$2×(-2+2)+(-2)× m=3×(-2-2)$.解得$m=6$;当$x=2$时,$2×(2+2)+2m=3×(2-2)$.解得$m=-4$.综上所述,$m$的值为6或-4.

25. 已知关于$x的分式方程\frac{x - a}{x - 1} - \frac{3}{x} = 1 + \frac{a}{x^2 - x}$,回答下列问题：
(1)原方程去分母后,整理成关于$x$的整式方程得：$(a+2)x=3-a$；
(2)若原分式方程无解,求$a$的值.

答案：
(1)$(a+2)x=3-a$
(2)解:当$a+2=0$时,$a=-2$,此时该方程无解.当$a+2\neq0$时,$x=\frac{3-a}{a+2}$.
∵原分式方程无解,
∴$\frac{3-a}{a+2}=0$或$\frac{3-a}{a+2}=1$,解得$a=3$或$a=\frac{1}{2}$.综上所述,$a=-2$或3或$\frac{1}{2}$.

26. 某学校计划从商店购买$A$,$B$两种商品,已知购买一件$A商品比购买一件B$商品多花10元,并且花费300元购买$A$商品和花费100元购买$B$商品的数量相等.
(1)求购买一件$A商品和一件B$商品各需要多少元.
(2)根据学校实际情况,该学校需要购买$B商品的件数比购买A$商品件数的3倍还多11件.经过洽谈,商店决定在该学校购买$A$种商品时给予八折优惠,如果该学校本次购买$A$,$B$两种商品的总费用不超过1000元,那么该学校最多可购买多少件$A$商品？

答案：
(1)解:设购买一件B商品需要$x$元,则购买一件A商品需要$(x+10)$元.依题意得$\frac{300}{x+10}=\frac{100}{x}$.解得$x=5$.经检验,$x=5$是原分式方程的解,且符合题意,
∴$x+10=15$.答:购买一件A商品需要15元,购买一件B商品需要5元.
(2)解:设该学校可购买$m$件A商品,则可购买$(3m+11)$件B商品.依题意得$80\%×15m+5(3m+11)\leqslant1000$,解得$m\leqslant35$.答:该学校最多可购买35件A商品.