《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

16. (12 分)阅读下列材料：
在因式分解时,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使多项式的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解. 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式 $ ( x ^ { 2 } - 4 x + 1 ) ( x ^ { 2 } - 4 x + 7 ) + 9 $ 进行因式分解的过程.
解：设 $ x ^ { 2 } - 4 x = y $,
则原式 $ = ( y + 1 ) ( y + 7 ) + 9 $ (第一步)
$ = y ^ { 2 } + 8 y + 16 $ (第二步)
$ = ( y + 4 ) ^ { 2 } $ (第三步)
$ = ( x ^ { 2 } - 4 x + 4 ) ^ { 2 } $. (第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的(C)
A. 提公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
(2)王老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请写出该因式分解的最后结果：(x-2)⁴.
(3)请用换元法对多项式 $ ( x ^ { 2 } + 2 x ) ( x ^ { 2 } + 2 x + 2 ) + 1 $ 进行因式分解.
解：设$x^{2}+2x=y$，
则原式$=y(y + 2)+1$
$=y^{2}+2y + 1$
$=(y + 1)^{2}$
$=(x^{2}+2x + 1)^{2}$
$=(x + 1)^{4}$

答案：
(1)C；
(2)(x-2)⁴；
(3)(x+1)⁴