《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

18. 如图,平行四边形ABCD中,AP,BP分别平分∠DAB和∠CBA,交DC边于点P,AD= 5。
(1)求线段AB的长；
(2)若BP= 6,求△ABP的周长。

答案： 解:
(1)
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB.
∵AB//CD，
∴∠PAB=∠DPA.
∴∠DAP=∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD=DP=5.
∵四边形ABCD是平形四边形，
∴BC=AD=5.同理，PC=CB=5.故AB=DC=DP+PC=10.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB,AB//CD.
∴∠DAB+∠CBA=180°.又
∵AP,BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$(∠DAB+∠CBA)=90°.在△APB中，∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=90°.在Rt△APB中,AB=10,BP=6，
∴AP=$\sqrt{10^2-6^2}$=8，
∴△ABP的周长=6+8+10=24.

19. 如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE= CF。
(1)求证：BE= DF；

(2)连接AF,若AD= DF,∠ADF= 40°,求∠AFB的度数。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD,∠BAD=∠C.在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠BAD=∠C，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF.
(2)
∵AD=DF,∠ADF=40°，
∴∠DAF=∠AFD=70°.又
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF=70°.

20. 如图,过□ABCD内任一点P作各边的平行线,分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H,连接AF,AG,FG。
求证：$S_{□ABCD}-S_{□AEPH}= 2S_{△AFG}$。

答案： 证明:$S_{\triangle AFG}=S_{□ ABCD}-(S_{\triangle AGD}+S_{\triangle FGC}+S_{\triangle ABF})$=$S_{□ ABCD}-\frac{1}{2}(S_{□ AEPH}+S_{□ HPGD}+S_{□ FPGC}+S_{□ BEPF}+S_{□ AEPH})$=$S_{□ ABCD}-\frac{1}{2}(2{S}_{□ AEPH}+{S}_{□ HPGD}+{S}_{□ FPGC}+{S}_{□ BEPF})$=$S_{□ ABCD}-\frac{1}{2}(S_{□ AEPH}+S_{□ ABCD})$=$\frac{1}{2}(S_{□ ABCD}-{S}_{□ AEPH})$
∴$S_{□ ABCD}-S_{□ AEPH}=2S_{\triangle AFG}$.