《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

例2 如图,四边形ABCD是平行四边形,AB= 10,AD= 8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长及□ABCD的面积。

答案： 【点拨】本题既考查平行四边形的性质,又考查勾股定理和平行四边形的面积公式。
【解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC= AD= 8,CD= AB= 10。
又
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形。
∴AC= $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}= \sqrt{10^{2}-8^{2}}= 6$。
又
∵OA= OC,
∴OA= $\frac{1}{2}AC= 3$。
$S_{□ABCD}= BC×AC= 8×6= 48$。

例3 如图,已知$l_{1}//l_{2}$,点$C_{1}在l_{1}$上,且$C_{1}A⊥l_{2}$,A为垂足,点$C_{2}$,$C_{3}是l_{1}$上的任意两点,点B在$l_{2}$上。设△ABC_1的面积为$S_{1}$,△ABC_2的面积为$S_{2}$,△ABC_3的面积为$S_{3}$。小颖认为$S_{1}= S_{2}= S_{3}$,请帮小颖说明理由。

答案： 【点拨】本题考查平行线之间的距离,解决本题的关键是明确两条平行线间的距离相等。
【解】
∵$l_{1}//l_{2}$,
∴△ABC_1,△ABC_2,△ABC_3的底边AB上的高相等。
∴△ABC_1,△ABC_2,△ABC_3这三个三角形同底等高。
∴△ABC_1,△ABC_2,△ABC_3这三个三角形的面积相等,
即$S_{1}= S_{2}= S_{3}$。

例4 (1)如图1,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为点E,F,求证：AE= CF。
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,AC,BD是两条对角线,请探究$AC^{2}$,$AB^{2}$,$BD^{2}$,$BC^{2}$之间的数量关系,并证明你的结论。

答案：
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用。解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,利用勾股定理得出关系式。
【解】
(1)
∵平行四边形ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,
∴AD= CB,DE= BF,
∠AED= ∠CFB= 90°。
在Rt△AED和Rt△CFB中,
$\begin{cases}AD= BC,\\DE= BF,\end{cases} $
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL),
∴AE= CF。
(2)$AC^{2}+BD^{2}= 2(AB^{2}+BC^{2})$。理由如下：
如图,过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E,过点D作DF⊥BC于点F。

根据勾股定理可得
$AC^{2}= AE^{2}+(BE+BC)^{2}$,①
$AE^{2}= AB^{2}-BE^{2}$,②
$BD^{2}= DF^{2}+(BC-CF)^{2}$,③
$DF^{2}= DC^{2}-CF^{2}$。④
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB= DC。
又
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠AEB= ∠DFC= 90°,AE= DF。
在Rt△AEB和Rt△DFC中,
$\begin{cases}AB= DC,\\AE= DF,\end{cases} $
∴Rt△AEB≌Rt△DFC(HL),
∴BE= CF。而AB= DC,
把②代①,④代③,可得
$AC^{2}= AB^{2}-BE^{2}+(BE+BC)^{2}$,
$BD^{2}= DC^{2}-CF^{2}+(BC-CF)^{2}$。
两式相加,可得$AC^{2}+BD^{2}= 2(AB^{2}+BC^{2})$。