《2025年同步练习册山东科学技术出版社八年级数学上册鲁教版五四制》

21. 如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE= 6,BE= 8,AB= 16。
(1)求AD的长；
(2)若∠CBE= 36°,求∠D的度数。

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=16,DC//AB，
∴∠DEA=∠EAB.又
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=CD-CE=16-6=10.
(2)
∵CE=6,BE=8,BC=AD=10，
∴$CE^2+BE^2=6^2+8^2=100=BC^2$，
∴△BCE是直角三角形,且∠BEC=90°，
∴∠C=90°-∠CBE=90°-36°=54°.
∵AD//BC，
∴∠D=180°-∠C=180°-54°=126°.

22. 如图,已知□ABCD中,AE平分∠BAD,交DC于E,DF⊥BC于F,交AE于G,且AD= DF。过点D作DC的垂线,分别交AE,AB于点M,N。
(1)已知M为AG的中点,且DM= 2,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,求DE的长；
(2)在(1)的基础上,求证：AB= CF+DM。

答案：
(1)解:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD，
∴∠BAE=∠DEA.又
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD.
∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD.
∵M为AG的中点，
∴AG=2DM=4.
∵DN⊥CD，
∴∠ADM+∠MDG=∠MDG+∠EDG，
∴∠ADM=∠EDG，
∴∠DAE+∠ADM=∠DEA+∠EDG，即∠DMG=∠DGM，
∴DG=DM=2.在Rt△ADG中，DE=AD=$\sqrt{AG^2-DG^2}$=$2\sqrt{3}$.
(2)证明:
∵点M为AG的中点,DF⊥AD，
∴AM=MG=MD，
∴∠MAD=∠ADM.由
(1)知∠ADM=∠EDG，
∴∠MAD=∠EDG，在△ADG和△DFC中，∠ADG=∠DFC，AD=DF，∠GAD=∠FDG，
∴△ADG≌△DFC(ASA)，
∴AG=DC=2DM,DG=CF，
∴AB=DC=2DM.又
∵CF+DM=DG+DM=2DM，
∴AB=CF+DM.