《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 若一次函数$y= 3x+6与y= 2x-4的图象的交点坐标是(a,b)$,则下列方程组中,解是$\left\{\begin{array}{l} x= a,\\ y= b\end{array} \right. $的是(C)
A.$\left\{\begin{array}{l} y-3x= 6,\\ 2x+y= -4\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} 3x+6+y= 0,\\ 2x-4-y= 0\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} 3x-y= -6,\\ 2x-y-4= 0\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} 3x-y= 6,\\ 2x-y= 4\end{array} \right. $

答案： C

2. (2025 徐州市期末)如图,直线$l_{1}:y= x+3与l_{2}:y= kx+b相交于点P(1,m)$,则方程组$\left\{\begin{array}{l} y= x+3,\\ y= kx+b\end{array} \right. $的解是(B)

A.$\left\{\begin{array}{l} x= 4,\\ y= 1\end{array} \right. $
B.$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 4\end{array} \right. $
C.$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 3\end{array} \right. $
D.$\left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= 1\end{array} \right. $

答案： B

以上说法正确的是(B)
A.①②
B.①③
C.①③④
D.②③④

答案： B 提示:联立，得{y = 3x + 4, y = -x}，解得{x = -1, y = 1}。所以一次函数y = 3x + 4的“关联点”为(-1,1)，故①正确；因为一次函数y = mx + n的“关联点”为(2,n - 1)，所以{-2 = n - 1, 2m + n = n - 1}，解得{n = -1, m = -1/2}，故②错误；一次函数y = 3x + 4和一次函数y = kx + 3的“关联点”相同，所以一次函数y = kx + 3的“关联点”为(-1,1)，所以1 = -k + 3，所以k = 2，故③正确；一次函数y = kx - 3上没有“关联点”，所以直线y = kx - 3与直线y = -x平行，所以k = -1，所以y = -x - 3，当x = 0时，y = -3，当y = 0时，x = -3，所以点A(-3,0)，B(0,-3)，所以OA = 3，OB = 3，设点P(t,0)，所以AP = |-3 - t|，所以S△ABP = 1/2×|-3 - t|×3 = 3|-3 - t|/2，S△ABO = 1/2OA·OB = 9/2，因为S△ABP = 1/2S△ABO，所以3|-3 - t|/2 = 1/2×9/2，所以|-3 - t| = 3/2，解得t = -9/2或t = -3/2。所以点P的坐标为(-9/2,0)或(-3/2,0)，故④错误。

4. 如图,直线$l_{1}:y= 2x+1与直线l_{2}:y= mx+4相交于点P(1,b)$,分别与x轴交于点A,B.
(1)求b,m的值,并结合图象写出关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y= -1,\\ mx-y= -4\end{array} \right. $的解.
(2)求$\triangle ABP$的面积.
(3)垂直于x轴的直线$x= a与直线l_{1},l_{2}$分别交于点C,D.若线段CD的长为2,求a的值.

答案：
(1)把点P(1,b)代入y = 2x + 1，得b = 3。把点P(1,3)代入y = mx + 4，得m = -1。因为直线l1:y = 2x + 1与直线l2:y = mx + 4相交于点P(1,3)，所以方程组{2x - y = -1, mx - y = -4}的解为{x = 1, y = 3}。
(2)因为l1:y = 2x + 1，l2:y = -x + 4，所以点A(-1/2,0)，B(4,0)，AB = 4 - (-1/2) = 9/2，所以S△ABP = 1/2×9/2×3 = 27/4。
(3)直线x = a与直线l1的交点C为(a,2a + 1)，与直线l2的交点D为(a,-a + 4)。因为CD = 2，所以|2a + 1 - (-a + 4)| = 2，即|3a - 3| = 2，解得a = 5/3或a = 1/3。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10,BC= 12,AD// BC,CD⊥AD$,BD和AC相交于点P,求$\triangle BPC$的面积.小明同学应用所学知识,顺利地解决了此题,他的思路是这样的:建立适当的平面直角坐标系,写出图中一些点的坐标.根据一次函数的知识求出点P的坐标,从而可求得$\triangle BPC$的面积.
请按照小明的思路解决这道思考题.

答案：
如图,以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系。由等腰三角形的性质，得OB = OC = 6，所以点B(-6,0)，C(6,0)，AD = OC = 6，所以CD = OA = √(AC² - OC²) = √(10² - 6²) = 8，所以点A(0,8)，D(6,8)。设直线AC的函数表达式为y = kx + b(k ≠ 0)，则{b = 8, 6k + b = 0}，解得{k = -4/3, b = 8}，所以直线AC的函数表达式为y = -4/3x + 8。同理可得，直线BD的函数表达式为y = 2/3x + 4。解方程组{y = -4/3x + 8, y = 2/3x + 4}，得{x = 2, y = 16/3}，所以点P(2,16/3)。所以△BPC的面积为1/2×12×16/3 = 32。