《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,是一种筷子的收纳盒,长、宽、高分别为4 cm,3 cm,12 cm,现有一长为16 cm的筷子插入到盒的底部,则筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围为(B)
A.3＜h＜4
B.3≤h≤4
C.2≤h≤4
D.5≤h≤6

答案： B 提示:由题图知，筷子露在盒外的部分h(cm)最长为$16 - 12=4(\text{cm})$.因为$\sqrt{3^2+4^2}=5(\text{cm})$，当筷子斜插于盒内时，即筷子露在盒外的部分h(cm)最短为$16-\sqrt{5^2+12^2}=16 - 13=3(\text{cm})$，所以筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围为$3\leqslant h\leqslant4$.

2. 《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:"今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?"题目大意是:如图1、图2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,C,D两点到门槛AB的距离都为1尺(1尺= 10寸),则AB的长是(C)
A. 50.5寸
B. 52寸
C. 101寸
D. 104寸

答案： C 提示:设$OA=OB=AD=BC=x$寸.过点D作$DE\perp AB$于点E，则$DE=10$寸，$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，$AE=(x - 1)$寸.在$\text{Rt}\triangle ADE$中，由勾股定理，得$AE^2+DE^2=AD^2$，即$(x - 1)^2+10^2=x^2$，解得$2x=101$.故AB的长是101寸.

3. 某宾馆装修,需在台阶上铺地毯.已知台阶宽2.8 m,其侧面图如图所示,需要购买19.6$ m^2$的地毯才能铺满所有台阶.

答案： 19.6 提示:由题意，可得$AB=\sqrt{5^2-3^2}=4$.利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为$3 + 4=7(\text{m})$，所以地毯面积为$2.8×7=19.6(\text{m}^2)$.

4. 如图是一个棱长为8 cm的无盖正方体铁盒(不计铁盒厚度),有一只蚂蚁在铁盒上爬行.已知蚂蚁从点D出发,沿着外壁正方形ABCD爬行,爬到边AB上,再在边AB上爬行3 cm,最后再沿着内壁正方形ABCD爬行,最终到达BC的中点P,则蚂蚁所走的最短路程是16cm.

答案： 16 提示:如图，将正方形ABCD沿着AB翻折得到正方形$ABC'D'$，过点P在正方形ABCD内部作$MP\perp BC$，且使$MP=3\ \text{cm}$，连接$D'M$交AB于点E，在AB上截取$EQ=MP$.连接PQ，过点M作$MN\perp C'D'$于点N.易得$MN=PC'$，$EM=QP$，$NC'=MP=EQ=3\ \text{cm}$，$\angle D'NM=90^\circ$，则蚂蚁所走的最短路程为$DE+EQ+QP=D'E+EQ+EM=D'M+EQ$.因为P是BC的中点，所以$BP=\frac{1}{2}BC=4\ \text{cm}$，所以$MN=PC'=BC'+BP=12\ \text{cm}$，$D'N=C'D'-C'N=5\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle D'MN$中，$D'M=\sqrt{D'N^2+MN^2}=13\ \text{cm}$，所以$D'M+EQ=13 + 3=16(\text{cm})$.

5. 如图,一个牧童在小河南面4 km的点A处牧马,此时他正位于他的小屋B的西面8 km、北面7 km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回到小屋,则他要走的最短路程是多少?

答案： 解:设小河南岸所在直线为MN，作出点A关于MN的对称点$A'$，连接$A'B$交MN于点P，则$A'B$就是最短路程.在$\text{Rt}\triangle A'DB$中，由勾股定理，得$A'B^2=DA'^2+DB^2=(7 + 4 + 4)^2+8^2=289$，所以$A'B=17\ \text{km}$.答:他要走的最短路程是17 km.