《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生(学生233名、教师7名)集体外出活动,要求每辆客车上至少要有1名教师.甲、乙两种客车的载客量和租金如下表:
| |甲种客车|乙种客车|
|载客量/(人/辆)|45|30|
|租金/(元/辆)|400|280|

则最节省费用的租车方案是(A)
A.租甲种车4辆,租乙种车2辆
B.租甲种车5辆,租乙种车1辆
C.租甲种车2辆,租乙种车5辆
D.租甲种车3辆,租乙种车4辆

答案： A 提示:因为每辆客车上至少要有1名教师,所以客车总数不能大于7辆.因为要保证240名师生有车坐,所以客车总数不能小于$\frac{240}{45}$≈5.3(辆).所以客车总数为6辆或7辆.①当客车总数为6辆时,设租用甲客车x(x为正整数)辆,租车总费用y元.由题意,45x + 30(6 - x)≥240,解得x≥4.所以4≤x≤6.由题意,得y = 400x + 280(6 - x).整理,得y = 120x + 1680.因为120＞0,所以y随x的增大而增大,所以当x取最小值时,即x = 4,y取得最小值.所以租甲种车4辆,租乙种车2辆,费用最少,为2160元.②当客车总数为7辆时,同理可得租用甲种车2辆,租乙种车5辆,费用最少,为2200元.综上所述,最节省费用的租车方案是租甲种车4辆,租乙种车2辆.

2. 甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表:
| |1 kg及以内|超过1 kg的部分(不足1 kg按1 kg计)|
|甲|8元|2元/kg|
|乙|6元|3元/kg|

设邮件的质量为x kg,甲、乙两公司的快递费分别为$y_{甲}$元,$y_{乙}$元.
(1)若$y_{甲}= 14$,则x= 4.
(2)若$y_{甲}\leqslant y_{乙}$,则x的取值范围为x≥3.

答案：
(1)4
(2)x≥3 提示:由题意,得y甲 = {8(0＜x≤1),2x + 6(x≥2),y乙 = {6(0＜x≤1),3x + 3(x≥2).当y甲≤y乙时,2x + 6≤3x + 3,解得x≥3.

3. 小聪在自主阅读课外数学读物时遇到了这样一个问题:如图,点阵中相邻4个顶点构成的小正方形面积为1,则五边形ABCEF的面积为______.

答案：
$\frac{131}{30}$ 提示:如图,以B为原点,BC,BA所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.由题意知,点A(0,2),C(3,0),G(-1,3),H(4,0).易求得直线GH的函数表达式为y = -$\frac{3}{5}$x + $\frac{12}{5}$.因为直线GH与AD,CD分别交于点F,E,所以点E(3,$\frac{3}{5}$),F($\frac{2}{3}$,2),所以CE = $\frac{3}{5}$.过点F作FM⊥x轴于点M,则BM = AF = $\frac{2}{3}$,AB = FM = 2.所以S梯形FMCE = $\frac{1}{2}$×($\frac{3}{5}$ + 2)×(3 - $\frac{2}{3}$) = $\frac{91}{30}$,S长方形ABMF = 2×$\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{3}$.所以五边形ABCEF的面积为S梯形FMCE + S长方形ABMF = $\frac{91}{30}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{131}{30}$.

4. (2025苏州四市期末)利用杆秤称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得到等式:$(m_{0}+x)\cdot l= M\cdot(a+y)$,其中秤盘质量$m_{0}g$,重物质量x g,秤砣质量M g,秤纽与秤盘的水平距离为l cm,秤纽与零刻线的水平距离为a cm,秤砣与零刻线的水平距离为y cm.如图,秤盘与零刻度线的距离AC为3 cm,零刻线与末刻线的距离CD为50 cm,秤盘质量$m_{0}= 10g$,秤砣质量M= 50g.某兴趣小组利用等式$(m_{0}+x)\cdot l= M\cdot(a+y)$制作简易杆秤.

(1)确定秤纽的位置:当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请求出l,a的值.
解:(1)因为l + a = 3,所以l = 3 - a.把m0 = 10,x = 0,M = 50,l = 3 - a,y = 0代入(m0 + x)·l = M·(a + y),得，(10 + 0)×(3 - a)=50(a + 0),解得a = 0.5,所以l = 3 - 0.5 = 2.5.
(2)确定杆秤的最大称重质量:根据(1)中l,a的值,求y关于x的函数表达式,并求杆秤的最大称重质量(秤砣移至末刻线点D处,秤得的物体质量).
解:(2)将m0 = 10,M = 50,a = 0.5,l = 2.5代入(m0 + x)·l = M·(a + y),得(10 + x)×2.5 = 50(0.5 + y),解得y = $\frac{1}{20}$x.当y = 50时,即50 = $\frac{1}{20}$x,所以x = 1000,即杆秤的最大称重质量是1000g.
(3)制作杆秤的刻度:将零刻线开始至末刻度线之间的线段CD平均分成10份(格),标注刻度值,则点E处应标注的刻度值为______g.
600
(4)该小组成员利用制作好的杆秤称重物时,误用了60g的秤砣进行称重,称得重物的质量为500g,则该重物的实际质量为______g.
602

答案： 解:
(1)因为l + a = 3,所以l = 3 - a.把m0 = 10,x = 0,M = 50,l = 3 - a,y = 0代入(m0 + x)·l = M·(a + y),得，(10 + 0)×(3 - a)=50(a + 0),解得a = 0.5,所以l = 3 - 0.5 = 2.5.
(2)将m0 = 10,M = 50,a = 0.5,l = 2.5代入(m0 + x)·l = M·(a + y),得(10 + x)×2.5 = 50(0.5 + y),解得y = $\frac{1}{20}$x.当y = 50时,即50 = $\frac{1}{20}$x,所以x = 1000,即杆秤的最大称重质量是1000g.
(3)600
(4)602 提示:由
(1)知,l = 2.5cm,a = 0.5cm,当重物质量为500g时,则有(10 + 500)×2.5 = 50(0.5 + y),解得y = 25.而小组成员错误称量时,y值的长度为25cm,用了60g的秤砣进行称重,所以有(10 + m)×2.5 = 60(0.5 + 25),解得m = 602,即该重物实际质量为602g.