《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7 m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙,那么梯子顶端到地面的距离A'D 为1.5 m. 由以上信息可知小巷的宽为(D)
A.2 m
B.2.5 m
C.2.6 m
D.2.7 m

答案： D

2. 如图,某人到岛上去探宝,从点A处登陆后先往北走9 km,又往东走6 km,再向北走3 km,最后往西走1 km就找到宝藏,则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是(D)

A.10 km
B.11 km
C.12 km
D.13 km

答案： D

3. 一艘海轮以每小时24海里的速度从港口A出发向东南方向航行,另一艘海轮以每小时18海里的速度同时从港口A出发向西南方向航行,则离开港口2 h后,两艘海轮之间的距离为(B)
A.84海里
B.60海里
C.48海里
D.36海里

答案： B

4. 如图,点A是正方体左侧面的中心,B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一只蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是$\sqrt{10}$.

答案： $\sqrt{10}$ 提示:正方体的部分展开图如图所示.过点A作$AE\perp CD$于点E,连接AB,则AB的长为最短路程.因为四棱柱为正方体，所以$DC=BC=2$，$AD=AC$.又因为$AE\perp DC$，所以$DE=EC$，$AE=EC=\frac{1}{2}DC=1$，所以$BE=EC+BC=3$.在$\text{Rt}\triangle AEB$中，根据勾股定理，得$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{10}$.

5.(2025南京市建邺区期末)如图,把摆钟的摆锤看作一个点,当它摆动到最低点D处时,摆锤离底座的垂直高度DE= 5 cm,当它摆动到最高点B处时,摆锤离底座的垂直高度BF= 7 cm,且与摆锤在最低点D处时的水平距离BC= 10 cm,求钟摆AD的长度.

答案： 解:由题意，得$CD=CE - DE=2\ \text{cm}$.设$AD=AB=x\ \text{cm}$，则$AC=AD - CD=(x - 2)\ \text{cm}$.因为$\angle ACB=90^\circ$，所以$AB^2=AC^2+BC^2$，即$x^2=(x - 2)^2+10^2$，解得$x=26$.答:钟摆AD的长度为26 cm.

6. 同学们想测量旗杆的高度,他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明:①如图1,测量出绳子垂直落地后还剩余1 m;②如图2,把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC= 4 m.
小亮:如图3,先在旗杆底端的绳子上打一个结,然后举起绳结拉到点D处(BD= BC),过点D作DF⊥AC于点F,DF= EC.
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度BC.
(2)已知小亮举起绳结离旗杆的距离DE= 4.5 m,求此时绳结到地面的高度DF.

答案：
(1)设旗杆的高度BC为$x\ \text{m}$，则绳子的长度$AB=(x + 1)\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle ABC$中，由勾股定理，得$x^2+4^2=(x + 1)^2$，解得$x=7.5$.答:旗杆的高度BC为7.5 m.
(2)由
(1)可知，$BD=BC=7.5\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{7.5^2-4.5^2}=6(\text{m})$，所以$DF=EC=BC - BE=1.5\ \text{m}$.答:此时绳结到地面的高度DF为1.5 m.