《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与销售量 x(件)之间的函数图象.有下列说法:①买2件时甲、乙两家售价一样;②买1件时买乙家的合算;③买3件时买甲家的合算;④买1件乙家的售价约为3元.其中正确的说法是 (D)

A.①②
B.②③④
C.②③
D.①②③

答案： D

2. 一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水;3 min时,再打开出水管排水;8 min时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量 y(L)与时间 x(min)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为$\frac{29}{3}$.

答案： $\frac{29}{3}$

3. 如图1,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内.现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽.水槽内水面的高度 y(cm)与注水时间 x(s)之间的函数图象如图2所示.
(1)正方体的棱长为10cm.
(2)求线段AB对应的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.线段AB对应的函数表达式为$y = \frac{5}{8}x+\frac{5}{2}$，自变量x的取值范围是$12\leqslant x\leqslant28$。
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t s恰好将此水槽注满,请直接写出t的值.4

答案： 【解析】：
(1)根据图2可知，12s时水面高度达到$10cm$，此后水面上升速度变慢，说明此时水已淹没正方体。
因为正方体底面积为边长的平方，水面高度达到$10cm$时刚好淹没正方体，所以正方体棱长为$10cm$。
(2)设线段$AB$对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知$A(12,10)$，$B(28,20)$，将这两点代入$y = kx + b$中，可得方程组$\begin{cases}12k + b = 10\\28k + b = 20\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程消去$b$可得：
$28k + b -(12k + b)=20 - 10$，
$28k + b - 12k - b = 10$，
$16k = 10$，
解得$k=\frac{5}{8}$。
将$k=\frac{5}{8}$代入$12k + b = 10$可得：
$12×\frac{5}{8}+b = 10$，
$\frac{15}{2}+b = 10$，
$b = 10 - \frac{15}{2}=\frac{5}{2}$。
所以线段$AB$对应的函数表达式为$y=\frac{5}{8}x+\frac{5}{2}$，自变量$x$的取值范围是$12\leq x\leq28$。
(3)在没有正方体时，注满水槽需$12+(28 - 12)÷(1-\frac{正方体底面积}{圆柱底面积})$。
由图可知，$12s$时水刚好淹没正方体，$28s$注满，有正方体时$16s$水面上升了$20 - 10 = 10cm$。
设圆柱底面积为$S$，正方体底面积为$10×10 = 100cm^2$，则$\frac{20}{S×28 - 100×(28 - 12)}=\frac{10}{S×16 - 100×(16 - 12)}$，
$\frac{20}{28S - 1600}=\frac{10}{16S - 400}$，
$20×(16S - 400)=10×(28S - 1600)$，
$320S - 8000 = 280S - 16000$，
$320S - 280S=-16000 + 8000$，
$40S=-8000$，
解得$S = 200cm^2$。
那么没有正方体时，注满水槽的时间为$12+\frac{16×(200 - 100)}{200}=12 + 8 = 20s$。
已经注水$28s$，所以$t = 20-(28 - 12)=4s$。
【答案】：
(1)$10$；
(2)$y=\frac{5}{8}x+\frac{5}{2}(12\leq x\leq28)$；
(3)$4$。

4. 某商店代理销售一种水果,6月份的销售利润 y(元)与销售量 x(kg)之间函数关系的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息,解答下列问题.
|日期|销售记录|
|6月1日|库存600 kg,成本价8元/kg,售价10元/kg(除了促销降价,其他时间售价保持不变)|
|6月9日|从6月1日至今,一共售出200 kg|
|6月10、11日|这两天以成本价促销,之后售价恢复到10元/kg|
|6月12日|补充进货200 kg,成本价8.5元/kg|
|6月30日|800 kg水果全部售完,一共获利1200元|

(1)截至6月9日,该商店销售这种水果一共获利多少元?
(2)求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式.

答案：
(1)截至6月9日,该商店销售这种水果一共获利$200×(10-8)=400$(元).
(2)设点 B 的坐标为$(a,400)$.根据题意,得$(10-8)×(600-a)+(10-8.5)×200=1200-400$,解得$a=350$.所以点 B的坐标为$(350,400)$.设线段 BC 所在直线的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$.因为B,C 两点的坐标分别为$(350,400),(800,1200)$,所以$\left\{\begin{array}{l} 350k+b=400,\\ 800k+b=1200,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac {16}{9},\\ b=-\frac {2000}{9}.\end{array}\right. $所以线段 BC 所在直线的函数表达式为$y=\frac {16}{9}x-\frac {2000}{9}.$