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例1 (泰州市泰兴市期末)已知$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c$的长度都是整数,且$a\leqslant b\lt c$.如果$b = 5$,那么这样的三角形共有(
A.8个
B.9个
C.10个
D.11个
C
)A.8个
B.9个
C.10个
D.11个
答案：
解：因为$a \leq b ＜ c$，$b = 5$，所以$a$可取$1,2,3,4,5$。
根据三角形三边关系：$a + b ＞ c$，且$c ＞ b = 5$。
当$a = 1$时，$1 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 6$，又$c ＞ 5$，$c$为整数，无解。
当$a = 2$时，$2 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 7$，$c ＞ 5$，$c = 6$，1个。
当$a = 3$时，$3 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 8$，$c ＞ 5$，$c = 6,7$，2个。
当$a = 4$时，$4 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 9$，$c ＞ 5$，$c = 6,7,8$，3个。
当$a = 5$时，$5 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 10$，$c ＞ 5$，$c = 6,7,8,9$，4个。
共$0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$个。
答案：C
根据三角形三边关系：$a + b ＞ c$，且$c ＞ b = 5$。
当$a = 1$时，$1 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 6$，又$c ＞ 5$，$c$为整数，无解。
当$a = 2$时，$2 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 7$，$c ＞ 5$，$c = 6$，1个。
当$a = 3$时，$3 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 8$，$c ＞ 5$，$c = 6,7$，2个。
当$a = 4$时，$4 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 9$，$c ＞ 5$，$c = 6,7,8$，3个。
当$a = 5$时，$5 + 5 ＞ c$，即$c ＜ 10$，$c ＞ 5$，$c = 6,7,8,9$，4个。
共$0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$个。
答案：C
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