《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BD= CE$,$AD与BE相交于点P$,则$\angle APE$的度数是 (C)

A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： C

2. 如图,在$\triangle PAB$中,$\angle A= \angle B$,$M$,$N$,$K分别是边PA$,$PB$,$AB$上的点,且$AM= BK$,$BN= AK$.若$\angle MKN= 50^{\circ}$,则$\angle P$的大小为___80$^{\circ}$.

答案： 80 提示:易证△AMK≌△BKN(SAS),所以∠AMK=∠BKN.因为∠A+∠AMK+∠AKM=180°,所以∠A+∠BKN+∠AKM=180°.又因为∠MKN+∠BKN+∠AKM=180°,所以∠B=∠A=∠MKN=50°,所以∠P=180°-∠A-∠B=80°.

3. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB= 4$,$AD= 6$,延长$BC到点E$,使$CE= 2$,连接$DE$,动点$P从点B$出发,以每秒$2个单位长度的速度沿BC—CD—DA向终点A$运动.设点$P的运动时间为t\ \text{s}$,当$t= $1或7$\text{s}$时,$\triangle ABP和\triangle DCE$全等.

答案： 1或7 提示:因为四边形ABCD是长方形,所以CD=AB=4,BC=AD=6,∠A=∠B=∠BCD=90°,所以∠DCE=90°.若∠ABP=∠DCE=90°,则当BP=CE=2时,△ABP≌△DCE(SAS),此时BP=2t=2.解得t=1;若∠BAP=∠DCE=90°,则当AP=CE=2时,△BAP≌△DCE(SAS),此时AP=(6+4+6)-2t=16-2t=2,解得t=7.综上所述，当t的值为1或7时，△ABP和△DCE全等.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD \perp AC于点D$,$CE \perp AB于点E$,$F是线段BD$上一点,$BF= AC$,$G是线段CE$的延长线上一点,$CG= AB$,连接$AG$,$AF$.
(1) 求证:$\angle ABD= \angle ACE$.
(2) 猜想线段$AF与AG$之间的数量和位置关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠AEC=90°,所以∠ABD+∠BAD=90°=∠ACE+∠BAD,所以∠ABD=∠ACE.
(2)解:AF=AG,AF⊥AG.理由如下:在△ABF和△GCA中,因为BA=CG,∠ABF=∠GCA,BF=CA,所以△ABF≌△GCA(SAS),所以AF=GA,∠BAF=∠G.因为∠GAE+∠G=90°,所以∠GAE+∠BAF=90°,所以∠GAF=90°,即AF⊥AG.

5. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在$\triangle ABC$中,$AB= 9$,$AC= 5$,求边$BC上的中线AD$的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长$AD至点Q$,使得$DQ= AD$;②连接$BQ$,把$AB$,$AC$,$2AD集中在\triangle ABQ$中;③利用三角形的三边关系,可得$4 ＜ AQ ＜ 14$.
(1) $AD$的取值范围是2＜AD＜7.
(2) 请写出图1中$AC与BQ$之间的位置关系,并加以证明.
AC//BQ.证明如下:因为AD是边BC上的中线,所以BD=CD.又因为∠BDQ=∠CDA,QD=AD,所以△QDB≌△ADC,所以∠BQD=∠CAD,所以AC//BQ.
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
【思考】
(3) 如图2,$AD是\triangle ABC$的中线,$AB= AE$,$AC= AF$,$\angle BAE= \angle FAC= 90^{\circ}$.试探究线段$AD与EF$之间的数量和位置关系,并加以证明.
EF=2AD,AD⊥EF.证明如下:延长AD至点Q,使得DQ=AD,连接BQ.由(2)可知,BQ//AC,BQ=AC.因为AC=AF,所以BQ=AF.因为BQ//AC,所以∠BAC+∠ABQ=180°.因为∠BAE=∠FAC=90°,所以∠BAC+∠EAF=180°.所以∠ABQ=∠EAF.在△ABQ和△EAF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EA,\\ ∠ABQ=∠EAF,\\ BQ=AF,\end{array}\right. $所以△ABQ≌△EAF,所以AQ=EF,∠BAQ=∠AEF.因为AD=DQ,所以EF=AQ=2AD.延长DA交EF于点P.因为∠BAE=90°,所以∠BAQ+∠EAP=90°,所以∠AEF+∠EAP=90°,所以∠APE=90°,所以AD⊥EF.

答案：
(1)2＜AD＜7
(2)AC//BQ.证明如下:因为AD是边BC上的中线,所以BD=CD.又因为∠BDQ=∠CDA,QD=AD,所以△QDB≌△ADC,所以∠BQD=∠CAD,所以AC//BQ.
(3)EF=2AD,AD⊥EF.证明如下:延长AD至点Q,使得DQ=AD,连接BQ.由
(2)可知,BQ//AC,BQ=AC.因为AC=AF,所以BQ=AF.因为BQ//AC,所以∠BAC+∠ABQ=180°.因为∠BAE=∠FAC=90°,所以∠BAC+∠EAF=180°.所以∠ABQ=∠EAF.在△ABQ和△EAF中,$\left\{\begin{array}{l} AB=EA,\\ ∠ABQ=∠EAF,\\ BQ=AF,\end{array}\right. $所以△ABQ≌△EAF,所以AQ=EF,∠BAQ=∠AEF.因为AD=DQ,所以EF=AQ=2AD.延长DA交EF于点P.因为∠BAE=90°,所以∠BAQ+∠EAP=90°,所以∠AEF+∠EAP=90°,所以∠APE=90°,所以AD⊥EF.