《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的,则∠BAC 的度数为(B)
A.28°
B.36°
C.45°
D.72°

答案： B 提示:如图,五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,所以∠EAB=∠ACD=$\frac{180^\circ×(5-2)}{5}$=108°,所以∠EAC=∠ACB=180°−∠ACD=72°,所以∠BAC=∠EAB−∠EAC=108°−72°=36°.

2. 如图,等腰三角形 ABC 的底边 BC 的长为4 cm,其面积为$16 cm^2,$腰 AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为BC 的中点,M 为直线 EF 上的动点,则△CDM 周长的最小值为(D)
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm

答案： D 提示:连接AD,AM.因为△ABC是等腰三角形,D是底边BC的中点,所以AD⊥BC,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$,即16=$\frac{1}{2}×4\cdot AD$,所以AD=8 cm.因为EF是线段AC的垂直平分线,所以AM=CM,所以CM+DM=AM+DM≥AD,所以AD的长为CM+DM的最小值,所以△CDM周长的最小值为AD+$\frac{1}{2}$BC=10 cm.

3. 如图,在△ABC 中,AC= BC,∠ACB= 90°,D 为边 AC 上一点,过点 A 作 AH⊥BD,交 BD 的延长线于点 H.若 BD= 2AH,则∠ADB 的度数为(C)
A.100°
B.105°
C.112.5°
D.135°

答案： C 提示:延长AH,BC交于点E.因为AC=BC,∠ACB=90°,所以∠ACE=90°,∠ABC=45°.因为AH⊥BD,所以∠AHB=90°.又因为∠ADH=∠BDC,所以∠HAD=∠DBC,所以△ACE≌△BCD(ASA),所以AE=BD.因为AE=BD=2AH,所以AH=EH.所以HB是线段AE的垂直平分线,所以AB=EB.所以由等腰三角形的性质得∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°,所以∠ADB=∠ACB+∠CBD=90°+22.5°=112.5°.

4. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则该等腰三角形的底角度数是______.

答案：
65°或25° 提示:如图1,若三角形为锐角三角形,则∠ACD=40°,所以∠A=90°−∠ACD=50°,所以∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=65°;如图2,若三角形为钝角三角形,则∠DCA=40°,所以∠DAC=90°−∠DCA=50°.又因为∠DAC=∠B+∠ACB,所以∠B=∠ACB=25°.

5. 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠A= 30°,射线 CP 从射线 CA 开始绕点 C 逆时针旋转α(0°＜α＜75°),与射线 AB 相交于点 D,将△ACD 沿射线 CP 翻折至△A'CD 处,射线CA'与射线 AB 相交于点 E.若△A'DE 是等腰三角形,则α= ______22.5°或45°或67.5°.

答案： 22.5°或45°或67.5° 提示:由翻折可知,∠CA'D=∠A=30°,∠PCA'=∠PCA=α.当点A'在直线AB的下方时,0°＜α＜60°,∠A'ED=∠A+∠ACA'=30°+2α,∠A'DE=180°−∠CA'D−∠A'ED=120°−2α.当DA'=DE时,∠CA'D=∠A'ED,即30°=30°+2α,解得α=0°(不合题意,舍去);当A'D=A'E时,∠A'ED=∠A'DE,即30°+2α=120°−2α,解得α=22.5°;当ED=EA'时,∠CA'D=∠A'DE,即30°=120°−2α,解得α=45°.如图,当点A'在直线AB的上方时,60°＜α＜75°,∠DA'E=180°−∠CA'D=150°,即△A'DE是钝角三角形,所以若△A'DE是等腰三角形,则只能是A'D=A'E,此时∠A'DE=∠A'ED=15°,所以∠ADC=∠A'DC=$\frac{1}{2}×$(180°−15°)=82.5°,所以α=∠ACD=180°−∠A−∠ADC=67.5°.综上所述,α的度数为22.5°或45°或67.5°.

6. 某数学兴趣小组开展了一次数学活动,过程如下:设∠BAC= θ(0°＜θ＜90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别在射线 AB,AC 上.
活动一:如图 1,从点$ A_1 $开始,依次向右摆放小棒,使小棒在端点处互相垂直$,A_1A_2$为第1根小棒.
数学思考:
(1) 小棒能(填“能”或“不能”)无限摆下去.
(2) 设$ AA_1= A_1A_2= A_2A_3,$则θ=22.5°.
活动二:如图 2,从点$ A_1 $开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中$ A_1A_2 $为第 1 根小棒,且$ A_1A_2= AA_1.$
数学思考:
(3) 若已经摆放了3根小棒,试用含θ的式子表示$θ_3.$
因为A₁A₂=AA₁,所以∠AA₂A₁=∠A=θ,所以∠A₂A₁A₃=∠A+∠AA₂A₁,即θ₁=2θ.同理可得θ₂=3θ,θ₃=4θ.
(4) 若只能摆放 4 根小棒,求θ的取值范围.
由题意,得$\begin{cases}4θ＜90^\circ,\\5θ\geq90^\circ,\end{cases}$解得18°≤θ＜22.5°.

答案：
(1)能
(2) 22.5
(3) 因为A₁A₂=AA₁,所以∠AA₂A₁=∠A=θ,所以∠A₂A₁A₃=∠A+∠AA₂A₁,即θ₁=2θ.同理可得θ₂=3θ,θ₃=4θ.
(4) 由题意,得$\begin{cases}4θ＜90^\circ,\\5θ\geq90^\circ,\end{cases}$解得18°≤θ＜22.5°.