《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

8. (2024 南京市秦淮区期中)如图,在△ABC 中,AB= AC,AD 平分∠BAC,FE 是 AC 的垂直平分线,交 AD 于点 F,连接 BF. 求证:AF= BF.

答案： 证明:连接CF.因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.又因为AB=AC，AD=AD，所以△ADB≌△ADC.所以BD=CD，所以点D在线段BC的垂直平分线上.因为AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上.所以AD垂直平分BC，所以BF=CF.因为FE垂直平分AC，所以AF=CF，所以AF=BF.

1. (2024 无锡市江阴市期中)在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,且顶点均在格点上,在△ABC 内部有 E,F,G,H 四个格点,到△ABC 三个顶点距离相等的是 (B)
A.点 E
B.点 F
C.点 G
D.点 H

答案： B

2. 在△ABC 中,BC= 10,AB 的垂直平分线与 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D,E,且 DE= 4,则 AD+AE 的值为 ( )

A.6
B.14
C.6 或 14
D.8 或 12

答案：
C 提示:连接AD，AE，则由条件可知AD=BD，AE=EC.分两种情况:如图1，当BD与CE无重合时，AD+AE=BD+CE=BC - DE=6;如图2，当BD与CE有重合时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=14.
　

3. 如图,在△ABC 中,∠BAC＞90°,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,AC 的垂直平分线交 AC 于点 F,交 BC 于点 G. 若以 BE,EG,GC 为边的三角形的面积为 8,则△ABC 的面积可能是 (D)

A.12
B.14
C.16
D.18

答案： D 提示:连接AE，AG.根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，GA=GC.根据三角形的三边关系可得AE+AG＞EG，所以BE+CG＞EG.所以S△AEB+S△ACG＞S△AEG，所以S△ABC＞2S△AEG=16.

4. 如图,△ABC 是三边都不相等的三角形,BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB,BP,CP 交于点 P,O 是三边垂直平分线的交点. 当点 P,O 同时在△ABC 的内部时,∠BOC 和∠BPC 的数量关系是∠BOC= 4∠BPC - 360°.

答案： 4∠BPC - 360° 提示:由题意，得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC)=90° + $\frac{1}{2}$∠BAC，即∠BAC=2∠BPC - 180°.连接AO.因为O是这个三角形三边垂直平分线的交点，所以OA=OB=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，所以∠AOB=180° - 2∠OAB，∠AOC=180° - 2∠OAC，所以∠BOC=360°-(∠AOB+∠AOC)=360°-(180° - 2∠OAB+180° - 2∠OAC)=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC=2(2∠BPC - 180°)=4∠BPC - 360°.

5. 已知直线 l 及其两侧的两点 A,B.
(1) 在图1中的直线 l 上作一点 P,使 PA= PB,并说明理由.
(2) 在图2中的直线 l 上作一点 Q,使 l 平分∠AQB,并说明理由.

答案：
解:
(1)如图1，连接AB，作线段AB的垂直平分线CD，交直线l于点P，P即为所求作的点.理由如下:因为直线CD是线段AB的垂直平分线，且P是CD上的点，所以PA=PB.
(2)如图2，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'A并延长，交直线l于点Q，连接BQ，Q即为所求作的点.理由如下:在直线l上任意找一点D(不与点Q重合)，连接B'D，BD.因为B与B'两点关于直线l对称，所以直线l是BB'的垂直平分线，所以BD=B'D，BQ=B'Q.又因为DQ=DQ，所以△BDQ≌△B'DQ(SSS)，所以∠BQD=∠B'QD，即直线l平分∠AQB.

6. 如图,AB= CD,AC,BD 的垂直平分线 EM,EN 相交于点 E. 求证:∠ABE= ∠CDE.

答案： 证明:连接AE，CE.因为AC，BD的垂直平分线EM，EN相交于点E，所以AE=CE，BE=DE.在△ABE和△CDE中，{AB=CD，AE=CE，BE=DE}，所以△ABE≌△CDE(SSS)，所以∠ABE=∠CDE.