《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

9. 如图,在直角三角形$ABC$中,直角顶点$A在直线l$上,$AB= AC$,过点$B$,$C分别作直线l$的垂线,垂足分别为$D$,$E$.求证：$\triangle ABD\cong\triangle CAE$.

答案： 证明:因为∠BAC = 90°,所以∠BAD + ∠CAE = 90°.因为CE⊥l,BD⊥l,所以∠AEC = ∠BDA = 90°,所以∠ABD + ∠BAD = 90°,所以∠ABD = ∠CAE.又因为AB = CA,所以△ABD ≌ △CAE(AAS).

1. 如图,$AB与CD相交于点E$,$AD= CB$,要使$\triangle ADE\cong\triangle CBE$,需添加一个条件,则添加的条件以及相应的判定定理正确的是 (C)

A.$AE= CE$,SAS
B.$DE= BE$,SAS
C.$\angle D= \angle B$,AAS
D.$\angle A= \angle C$,ASA

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,以$AB$,$AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF$,连接$EF$,$AD为边BC$上的高线,延长$DA交EF于点N$.给出下列结论：①$\angle EAN= \angle ABC$;②$\triangle EAN\cong\triangle BAD$;③$S_{\triangle AEF}= S_{\triangle ABC}$;④$EN= FN$.其中正确的有______①③④(填序号).

答案： ①③④ 提示:因为∠BAE = 90°,AD⊥BD,所以∠EAN + ∠BAD = 90° = ∠ABC + ∠BAD,所以∠EAN = ∠ABC,故①正确;因为∠AEN与∠BAD不一定相等,所以△AEN与△BAD不一定全等,故②错误;如图,过点E作EH⊥AN于点H,过点F作FK⊥AN,交AN的延长线于点K,所以∠AEH + ∠EAH = 90°,因为∠EAB = 90°,所以∠EAH + ∠BAD = 90°,所以∠AEH = ∠BAD.易证△AEH ≌ △BAD(AAS),所以EH = AD,S△AEH = S△BAD,同理可得△AFK ≌ △CAD,所以FK = AD,S△AFK = S△CAD,所以FK = EH,在△FKN和△EHN中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FKN = ∠EHN,\\ ∠FNK = ∠ENH,\\ FK = EH,\end{array}\right. $所以△FKN ≌ △EHN(AAS),所以S△FKN = S△EHN,所以S△ABC = S△BAD + S△CAD = S△AEH + S△AFK = (S△EAN - S△ENH) + (S△FNA + S△FNK) = S△EAN + S△FNA = S△AEF,即S△ABC = S△AEF,故③正确;因为△FKN ≌ △EHN,所以FN = EN,故④正确.

3. 在钝角三角形$ABC$中,$AD是边BC$上的高,$BE是边AC$上的高,这两条高所在 的直线相交于点$O$.若$BO= AC$,$BC= a$,$CD= b$,则$AD$的长为______.

答案：
b - a 或 b + a 或 a - b 提示:如图1,当B为钝角顶点时,因为AD是边BC上的高,BE是边AC上的高,所以∠ADC = ∠BDO = ∠CEB = 90°,所以∠O + ∠DBO = 90° = ∠CBE + ∠C.因为∠DBO = ∠CBE,所以∠O = ∠C.因为BO = AC,所以△BOD ≌ △ACD(AAS),所以AD = BD.因为BC = a,CD = b,所以AD = BD = CD - BC = b - a.如图2,当C为钝角顶点时,同理可得△BOD ≌ △ACD(AAS),所以AD = BD.因为BC = a,CD = b,所以AD = BD = CD + CB = b + a.如图3,当A为钝角顶点时,同理可得△BOD ≌ △ACD(AAS),所以AD = BD.因为BC = a,CD = b,所以AD = BD = BC - CD = a - b.

4. 如图,$OA\perp OM$,$OA= 7$,$B为射线OM$上的一动点,分别以$OB$,$AB$为直角边,$B$为直角顶点,在$OM两侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE$,连接$EF$,交$OM于点P$.当点$B在射线OM$上移动时,线段$PB$的长度为$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$ 提示:过点E作EN⊥BM于点N.易证△ABO ≌ △BEN,所以OB = NE,OA = NB.因为OB = BF,所以BF = NE.易证△BPF ≌ △NPE,所以BP = NP = $\frac{1}{2}$NB = $\frac{1}{2}$OA = $\frac{7}{2}$.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边AB$上,$E是边AC$的中点,$CF// AB$,交$DE的延长线于点F$.
(1) 求证:$\triangle AED\cong\triangle CEF$.
(2) 若$D是AB$的中点,试判断$DE与BC$的关系,并说明理由.

答案：
(1)证明:因为E是AC的中点,所以AE = CE.因为CF// AB,所以∠A = ∠FCE,∠ADE = ∠F.在△AED和△CEF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠A = ∠FCE,\\ ∠ADE = ∠F,\\ AE = CE,\end{array}\right. $所以△AED ≌ △CEF(AAS).
(2)解:DE//BC且DE = $\frac{1}{2}$BC.理由如下:连接CD.由
(1),得△AED ≌ △CEF,所以AD = CF,DE = FE,即DE = $\frac{1}{2}$DF.因为D是AB的中点,所以AD = BD,所以BD = CF.因为CF//AB,所以∠BDC = ∠FCD.在△BDC和△FCD中,$\left\{\begin{array}{l} BD = FC,\\ ∠BDC = ∠FCD,\\ CD = DC,\end{array}\right. $所以△BDC ≌ △FCD(SAS),所以BC = DF,∠BCD = ∠FDC,所以DE//BC,DE = $\frac{1}{2}$BC.