《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,周长为60,斜边长与一条直角边长之比为13:5,则Rt△ABC的斜边长为(D)
A.5
B.10
C.13
D.26

答案： D

2. 已知直角三角形的面积为15,两条直角边的和为11,则其斜边长的平方为(A)
A.61
B.62
C.63
D.64

答案： A

3. 如图,在Rt△ABC中,AB= 6,BC= 8,AD为∠BAC的平分线,将△ADC沿直线AD翻折得到△ADE,则DE的长为(B)
A.4
B.5
C.6
D.7

答案： B 提示:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=10.由折叠,得AE=AC=10,所以BE=4.设DE=x,则BD=BC - DC=BC - DE=8 - x.在Rt△BDE中,由勾股定理,得(8 - x)²+4²=x²,解得x=5.所以DE的长为5.

4. 已知在△ABC中,AB= 17,AC= 10,边BC上的高AD= 8,则边BC的长为21或9.

答案： 21或9 提示:当高AD在△ABC内部时,BC=21;当高AD在△ABC的外部时,BC=9.

5. 如图,在△ABC中,AB= AC= 5,BC= 6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN的长是$\frac{12}{5}$.

答案： $\frac{12}{5}$ 提示:连接AM.因为AB=AC=5,M为BC的中点,所以AM⊥CM,$BM=CM=\frac{1}{2}BC=3$.在Rt△ABM中,根据勾股定理,得$AM=\sqrt{AB^2 - BM^2}=4$.又因为$S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}MN\cdot AC=\frac{1}{2}AM\cdot CM$,所以$MN=\frac{AM\cdot CM}{AC}=\frac{12}{5}$.

6. 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出AB= √2,AC= √5,AD= √13这样的线段.

答案：
解:如图所示(答案不唯一).

7. 如图,A是数轴上表示实数a的点.
(1)请用直尺和圆规在数轴上作出表示实数√2的点P.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)利用数轴比较√2和a的大小,并说明理由.

答案：
解$:$　　
$(1)$如图$,$点$P$即为所求$.$　　
$(2)a>\sqrt{2}.$理由如下$:$在数轴上$,$位于右侧的数大于位于左侧的数$,$所以由$(1)$中所作的图$,$可知$a>\sqrt{2}. $　　

8. 如图,△ACB和△DCE均是等腰直角三角形,∠ACB= ∠ECD= 90°,D为边AB上一点.
(1)求证：△ACE≌△BCD.
(2)若AD= 5,BD= 12,求DE的长.

答案：
(1)证明:因为△ACB和△DCE均是等腰直角三角形,$\angle ACB = \angle ECD = 90^{\circ}$,所以AC = BC,EC = DC,所以$\angle DCB = \angle ACB - \angle ACD = \angle ECD - \angle ACD = \angle ECA$.在△ACE和△BCD中,$\begin{cases}AC = BC\\\angle ECA = \angle DCB\\EC = DC\end{cases}$,所以△ACE≌△BCD(SAS).
(2)解:由
(1)知△ACE≌△BCD,所以AE = BD = 12,$\angle EAC = \angle DBC$.因为△ACB是等腰直角三角形,所以$\angle EAC = \angle DBC = \angle CAB = 45^{\circ}$,所以$\angle EAD = 90^{\circ}$.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得$AD^2 + AE^2 = DE^2$,即$5^2 + 12^2 = DE^2$,所以DE = 13.

9. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D,∠CBE= 45°,BE分别交AC,AD于点E,F,连接CF.
(1)判断△BCF的形状,并说明理由.
(2)若AF= BC,求证：$BF^2+EF^2= AE^2.$

答案：
(1)△BCF为等腰直角三角形.理由如下:因为AB = AC,AD⊥BC,所以BD = CD,所以AD垂直平分BC,所以BF = CF,所以$\angle BCF = \angle CBF = 45^{\circ}$,所以$\angle CFB = 180^{\circ} - \angle BCF - \angle CBF = 90^{\circ}$,所以△BCF为等腰直角三角形.
(2)在线段BF上取一点H,使BH = FE,连接CH.因为△BCF为等腰直角三角形,AD⊥BC,易得$\angle AFE = \angle DFB = \angle DBF = 45^{\circ}$.在△CHB和△AEF中,$\begin{cases}BH = FE\\\angle CBH = \angle AFE\\BC = FA\end{cases}$,所以△CHB≌△AEF(SAS),所以AE = CH,$\angle AEF = \angle CHB$.因为$\angle AEF + \angle CEF = 180^{\circ}$,$\angle CHB + \angle CHE = 180^{\circ}$,所以$\angle CEF = \angle CHE$,所以CE = CH.因为$\angle CFB = 90^{\circ}$,即CF⊥EH,所以EF = FH.由
(1)可知CF = BF.在Rt△CFH中,由勾股定理,得$CF^2 + FH^2 = CH^2$,所以$BF^2 + EF^2 = AE^2$.