《2025年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,分别以△ABC 的边 AB,BC,AC 为新的直角边或斜边向外作等腰直角三角形 ABF、等腰直角三角形 BEC 和等腰直角三角形 ADC.记△ABF,△BEC,△ADC 的面积分别是$ S_1,S_2,S_3,$则$ S_1,S_2,S_3$之间的关系是(D)
$A.S_1＜S_2+S_3$　　
$B.S_1= S_2+S_3$　　
$C.1/2S_1＞S_2+S_3$　　
$D.1/2S_1= S_2+S_3$　　

答案： D

2. 如图,Rt△ABC 的周长为 30 cm,面积为$30 cm^2,$以 AB,AC 为边向外作正方形ABPQ 和正方形 ACMN,则这两个正方形的面积之和为169$cm^2.$

答案： 169 提示:设AB=x cm,AC=y cm,则BC=(30-x-y)cm.因为∠BAC=90°,△ABC的面积为30 cm²,所以$\begin{cases} x^2+y^2=(30-x-y)^2, \\ \frac{1}{2}xy=30, \end{cases}$化简,得x+y=17,所以这两个正方形的面积之和为$x^2$+$y^2$=$(x+y)^2$-2xy=289-120=169(cm²).

3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,分别以△ABC 的三边为直角边作三个等腰直角三角形:△ABD,△ACE,△BCF.若$ S_1= 6.2,S_2= 4.3,S_3= 5.5,$则$ S_4= $3.6。

答案： 3.6 提示:设DE交BF,CF于点G,H.由条件,可设AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,$S_{\triangle ABG}$=m,$S_{\triangle ACH}$=n.因为$a^2$+$b^2$=$c^2$,所以$S_{\triangle ABD}$+$S_{\triangle ACE}$=$S_{\triangle BCF}$,所以$S_1$+m+n+$S_4$=$S_2$+$S_3$+m+n,所以$S_4$=$S_2$+$S_3$-$S_1$=4.3+5.5-6.2=3.6.

4. 综合与实践.
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于$c^2,$另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即$1/2ab×4+(b-a)^2,$从而得到等式$c^2= 1/2ab×4+(b-a)^2,$化简便得结论$a^2+b^2= c^2.$这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的 Rt△ABC和 Rt△DEA 按如图2所示的方式放置,其三边长分别为a,b,c,∠BAC= ∠DEA= 90°,显然 BC⊥AD.
(1)请用a,b,c,分别表示出四边形 ABDC,梯形 AEDC,△BDE 的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理$a^2+b^2= c^2.$
证明:由题图,可知$S_{四边形ABDC}$=$S_{\triangle ABC}$+$S_{\triangle BCD}$=$\frac{1}{2}$BC·AF+$\frac{1}{2}$BC·FD=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}c^2$,$S_{梯形AEDC}$=$\frac{1}{2}$(b+a)b,$S_{\triangle BDE}$=$\frac{1}{2}$(a-b)a.因为$S_{四边形ABCD}$=$S_{梯形AEDC}$+$S_{\triangle BED}$,所以$\frac{1}{2}c^2$=$\frac{1}{2}$(b+a)b+$\frac{1}{2}$(a-b)a,所以$\frac{1}{2}c^2$=$\frac{1}{2}b^2$+$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}a^2$-$\frac{1}{2}ab$,所以$a^2$+$b^2$=$c^2$.
【方法迁移】
(2)请利用“双求法”解决下面的问题:如图3,小正方形边长为1,连接小正方形三个顶点,可得△ABC,边 BC 上的高为$\frac{7}{5}$.
(3) 如图4,在△ABC中,AD是边BC上的高,AB= 5,AC= 6,BC= 7.设BD= x,求x的值..
解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得$AD^2$=$AB^2$-$BD^2$=$5^2$-$x^2$=25-$x^2$.由题意,得CD=BC-BD=7-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得$AD^2$=$AC^2$-$CD^2$=$6^2$-(7-x)$^2$=-13+14x-$x^2$.所以25-$x^2$=-13+14x-$x^2$,解得x=$\frac{19}{7}$.

答案： （1）证明:由题图,可知$S_{四边形ABDC}$=$S_{\triangle ABC}$+$S_{\triangle BCD}$=$\frac{1}{2}$BC·AF+$\frac{1}{2}$BC·FD=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}c^2$,$S_{梯形AEDC}$=$\frac{1}{2}$(b+a)b,$S_{\triangle BDE}$=$\frac{1}{2}$(a-b)a.因为$S_{四边形ABCD}$=$S_{梯形AEDC}$+$S_{\triangle BED}$,所以$\frac{1}{2}c^2$=$\frac{1}{2}$(b+a)b+$\frac{1}{2}$(a-b)a,所以$\frac{1}{2}c^2$=$\frac{1}{2}b^2$+$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}a^2$-$\frac{1}{2}ab$,所以$a^2$+$b^2$=$c^2$.（2）$\frac{7}{5}$ 提示:由题图,可知$S_{\triangle ABC}$=4×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{7}{2}$,BC=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.所以$S_{\triangle ABC}$=$\frac{1}{2}$BC·h=$\frac{5}{2}$h=$\frac{7}{2}$,解得h=$\frac{7}{5}$.（3）解:在Rt△ABD中,由勾股定理,得$AD^2$=$AB^2$-$BD^2$=$5^2$-$x^2$=25-$x^2$.由题意,得CD=BC-BD=7-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得$AD^2$=$AC^2$-$CD^2$=$6^2$-(7-x)$^2$=-13+14x-$x^2$.所以25-$x^2$=-13+14x-$x^2$,解得x=$\frac{19}{7}$.