《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

11 [2024沈阳126中月考]下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是 (C)
A. 中心投影
B. 平行投影
C. 当△ABC平行于投影面时的正投影
D. 当△ABC平行于投影面时的中心投影

答案： C

12 教材P132T1变式 [2024阜新期末]下图是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序排列正确的是 (C)

A. ③①④②
B. ③②①④
C. ③④①②
D. ②④①③

答案： C 由于太阳从东边升起,西边落下,所以物体影子的方向为正西—西北—正北—东北—正东,所以影子的变化顺序为③④①②.
策略点拨
太阳光下物体影子的变化规律
在太阳光下,物体的投影随时间的变化而变化,体现在长度和偏移方向两个方面:由早上到傍晚,影子长度变化为长—短—长,中午是分界点;偏移方向变化为西—北偏西—北—北偏东—东(北半球).

13 [2025阳泉期中]如图,在A时测得某树的影长DE为4m,B时又测得该树的影长DF为16m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度CD为8m.

答案： 8 由题意知∠EDC=∠CDF=∠ECF=90°,
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,
∴∠E=∠DCF,
∴△EDC∽△CDF,
∴$\frac{ED}{CD}=\frac{CD}{FD}$,即$CD^{2}=ED\cdot FD$,
∴$CD^{2}=4×16=64$,
∴CD=8m.

14 某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与地面成60°角,房屋向南的窗户AB= 1.6m.现要在窗户外面的上方安装一个水平遮阳篷AC(如图所示).要使此时的太阳光线不能直接射入室内,遮阳篷AC的宽度至少为$\frac{8\sqrt{3}}{15}$m.

答案： $\frac{8\sqrt{3}}{15}$ 连接AB,此时△ABC为直角三角形,且∠ABC=30°,∠BAC=90°,所以BC=2AC.在Rt△ABC中,由勾股定理,得$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,即$1.6^{2}+AC^{2}=(2AC)^{2}$,所以$AC=\frac{8\sqrt{3}}{15}$m.所以遮阳篷AC的宽度至少为$\frac{8\sqrt{3}}{15}$m.

15 [2024烟台期末]如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形$A_1B_1C_1D_1,$其中边AB,CD与投影面α平行,AD,BC与投影面α不平行.若正方形ABCD的边长为$5cm,∠BCC_1= 45°,$求其投影$A_1B_1C_1D_1$的面积.

答案：
解:如图,过点B作BH⊥CC₁于点H,
∵∠BCC₁=45°,BC=5cm,
∴$BH=\frac{5\sqrt{2}}{2}$cm.
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为四边形A₁B₁C₁D₁,边AB,CD与投影面α平行,
∴四边形A₁B₁C₁D₁为矩形,且$B_{1}C_{1}=BH=\frac{5\sqrt{2}}{2}$cm,$C_{1}D_{1}=CD=5$cm,
∴四边形A₁B₁C₁D₁的面积为$\frac{5\sqrt{2}}{2}×5=\frac{25\sqrt{2}}{2}$(cm²).

16 模型观念 [2025枣庄四十一中月考]甲、乙两栋楼的位置如图1,图2所示,甲楼AB高16米.
(1)如图1,当地中午12时,物高与影长的比是1:√2,甲楼的影子刚好不落到乙楼上,则两楼间距BD的长为______米.
(2)当地下午14时,物高与影长的比是1:2.如图2,甲楼的影子有一部分落在乙楼上,求落在乙楼上的影子DE的长.

答案：
解:
(1)$16\sqrt{2}$
由题意,得$\frac{AB}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,即$\frac{16}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,解得$BD=16\sqrt{2}$(米).
(2)如图,设FE⊥AB于点F,那么在Rt△AEF中,∠AFE=90°,EF=BD=$16\sqrt{2}$米.

∵物高与影长的比是1:2,
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{1}{2}$,
∴$AF=\frac{1}{2}EF=8\sqrt{2}$(米),
∴DE=FB=AB - AF=$(16 - 8\sqrt{2})$米.
答:落在乙楼上的影子DE的长为$(16 - 8\sqrt{2})$米.