《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024 天津南开区期中]已知一元二次方程的两根分别为 $ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= -4 $,则这个方程为(A)
A. $ (x - 3)(x + 4) = 0 $
B. $ (x + 3)(x - 4) = 0 $
C. $ (x + 3)(x + 4) = 0 $
D. $ (x - 3)(x - 4) = 0 $

答案： A

2 [2024 贵州中考]一元二次方程 $ x^{2} - 2x = 0 $ 的解是(B)
A. $ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= 1 $
B. $ x_{1}= 2 $,$ x_{2}= 0 $
C. $ x_{1}= 3 $,$ x_{2}= -2 $
D. $ x_{1}= -2 $,$ x_{2}= -1 $

答案： B 因为 $x^{2}-2x = 0$，所以 $x(x - 2) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_{1} = 2$，$x_{2} = 0$。

3 [2025 吕梁月考]方程 $ 2x + 1 = x(2x + 1) $ 的解为(D)
A. $ -\frac{1}{2} $
B. 0
C. 1
D. $ -\frac{1}{2} $,1

答案： D 原方程可变形为 $2x + 1 - x(2x + 1) = 0$，$(2x + 1)(1 - x) = 0$，$2x + 1 = 0$ 或 $1 - x = 0$，解得 $x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$，
∴ 方程 $2x + 1 = x(2x + 1)$ 的解为 $x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$。

4 [易错题][2024 泰安期末]已知方程 $ (x - 2)(3x + 1) = 0 $,则 $ x - 2 $ 的值为(D)
A. $ -\frac{7}{3} $
B. 0
C. -2
D. $ -\frac{7}{3} $ 或 0

答案： D
∵ $(x - 2)(3x + 1) = 0$，
∴ $x - 2 = 0$ 或 $3x + 1 = 0$，解得 $x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{1}{3}$。当 $x = 2$ 时，$x - 2 = 0$；当 $x = -\frac{1}{3}$ 时，$x - 2 = -\frac{1}{3}-2 = -\frac{7}{3}$。

5 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x - 3)^{2} = 6 - 2x$；
解：原方程可变形为$(x - 3)^{2}+2(x - 3) = 0$，
∴$(x - 3)(x - 3 + 2) = 0$，即$(x - 3)(x - 1) = 0$，
∴$x_{1}=$3，$x_{2}=$1。
(2) $(2x - 1)^{2} - (x + 1)^{2} = 0$；
解：原方程可变形为$(2x - 1 + x + 1)(2x - 1 - x - 1) = 0$，即$3x(x - 2) = 0$，∴$3x = 0$或$x - 2 = 0$，
∴$x_{1}=$0，$x_{2}=$2。
(3) $2(x - 2)^{2} = x^{2} - 4$。
解：原方程可变形为$2(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2) = 0$，
∴$(x - 2)[2(x - 2)-(x + 2)] = 0$，即$(x - 2)(x - 6) = 0$，
∴$x_{1}=$2，$x_{2}=$6。

答案： 解：
(1) 原方程可变形为 $(x - 3)^{2}+2(x - 3) = 0$，
∴ $(x - 3)(x - 3 + 2) = 0$，即 $(x - 3)(x - 1) = 0$，
∴ $x_{1}=3$，$x_{2}=1$。
(2) 原方程可变形为 $(2x - 1 + x + 1)(2x - 1 - x - 1) = 0$，即 $3x(x - 2) = 0$，
∴ $3x = 0$ 或 $x - 2 = 0$，
∴ $x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
(3) 原方程可变形为 $2(x - 2)^{2}-(x + 2)(x - 2) = 0$，
∴ $(x - 2)[2(x - 2)-(x + 2)] = 0$，即 $(x - 2)(x - 6) = 0$，
∴ $x_{1}=2$，$x_{2}=6$。

6 已知下列方程,请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上。
① $ 2(x - 1)^{2} = 6 $；② $ (x - 2)^{2} + x^{2} = 4 $；③ $ 2x^{2} - 2\sqrt{2}x - 5 = 0 $；④ $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $；⑤ $ x^{2} - 2x - 99 = 0 $。
(1) 直接开平方法：①。
(2) 配方法：④⑤。
(3) 公式法：③。
(4) 因式分解法：②。

答案：
(1) ①；
(2) ④⑤；
(3) ③；
(4) ②

7 解下列方程：
(1) $ y^{2} - 2y - 7 = 0 $；
解：移项，得 $y^{2}-2y = 7$，
配方，得 $y^{2}-2y + 1 = 7 + 1$，即 $(y - 1)^{2}=8$，
两边开平方，得 $y - 1=\pm2\sqrt{2}$，
所以 $y_{1}=$$1 + 2\sqrt{2}$，$y_{2}=$$1 - 2\sqrt{2}$。
(2) $ 4(x - 5)^{2} + x(x - 5) = 0 $；
解：原方程可变形为 $(x - 5)($$5x - 20$$) = 0$，
则 $x - 5 = 0$ 或 $5x - 20 = 0$，
所以 $x_{1}=$5，$x_{2}=$4。
(3) $ 3x(x - 1) = x(x + 5) $；
解：原方程可变形为$2x^{2}-8x$$ = 0$，
则 $2x(x - 4) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
所以 $x_{1}=$0，$x_{2}=$4。
(4) $ 3x^{2} + 5(2x + 1) = 0 $。
解：原方程可变形为$3x^{2}+10x + 5$$ = 0$，
这里 $a = $3，$b = $10，$c = $5，
因为 $b^{2}-4ac = 10^{2}-4×3×5 = $40$\gt0$，
所以 $x=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}=$$\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$，
即 $x_{1}=$$\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=$$\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$。

答案： 解：
(1) 移项，得 $y^{2}-2y = 7$，
配方，得 $y^{2}-2y + 1 = 7 + 1$，即 $(y - 1)^{2}=8$，
两边开平方，得 $y - 1=\pm2\sqrt{2}$，
所以 $y_{1}=1 + 2\sqrt{2}$，$y_{2}=1 - 2\sqrt{2}$。
(2) 原方程可变形为 $(x - 5)(5x - 20) = 0$，
则 $x - 5 = 0$ 或 $5x - 20 = 0$，
所以 $x_{1}=5$，$x_{2}=4$。
(3) 原方程可变形为 $2x^{2}-8x = 0$，
则 $2x(x - 4) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $x - 4 = 0$，
所以 $x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
(4) 原方程可变形为 $3x^{2}+10x + 5 = 0$，
这里 $a = 3$，$b = 10$，$c = 5$，
因为 $b^{2}-4ac = 10^{2}-4\times3\times5 = 40\gt0$，
所以 $x=\frac{-10\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{-5\pm\sqrt{10}}{3}$，
即 $x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3}$，$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$。