《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024 东营河口区期末]如图,正方形 ABCD 的边长为 4,G 是

对角线 BD 上一动点,GE⊥CD 于点 E,GF⊥BC 于点 F,连接 EF,给出四种情况：
①若 G 为 BD 的中点,则四边形 CEGF 是正方形；②若 G 为 BD 上任意一点,则 AG= EF；③点 G 在运动过程中,GE+GF 的值为定值 4；④点 G 在运动过程中,线段 EF 的最小值为 2√2. 正确的有______. (填所有正确的序号)

答案：
①②③④
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠C = 90^{\circ}$，$AD = DC$，$∠CBG = ∠CDG = ∠ADG = 45^{\circ}$。
∵ $GE⊥CD$ 于点 $E$，$GF⊥BC$ 于点 $F$，
∴ $∠GEC = ∠GFC = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $CEGF$ 是矩形，$∠EGD = ∠EDG = 45^{\circ}$，$∠FGB = ∠CBG = 45^{\circ}$，
∴ $DG = \sqrt{2}GE$，$BG = \sqrt{2}GF$。
∵ $G$ 为 $BD$ 的中点，
∴ $DG = BG$，
∴ $GE = GF$，
∴ 四边形 $CEGF$ 是正方形，故①正确。如图，连接 $GC$，
∵ 四边形 $CEGF$ 是矩形，
∴ $EF = CG$。在 $\triangle ADG$ 和 $\triangle CDG$ 中，$\begin{cases}AD = CD,\\∠ADG = ∠CDG,\\DG = DG,\end{cases}$
∴ $\triangle ADG≌\triangle CDG(SAS)$，
∴ $AG = CG$，
∴ $AG = EF$，故②正确。
∵ $∠EGD = ∠EDG = 45^{\circ}$，
∴ $GE = ED$。
∵ 四边形 $CEGF$ 是矩形，
∴ $GF = CE$，
∴ $GE + GF = ED + CE = CD = 4$，即 $GE + GF$ 的值为定值 $4$，故③正确。
∵ $EF = CG$，
∴ 当 $CG$ 最小时，$EF$ 最小。当 $CG⊥BD$ 时，$CG$ 最小。在 $Rt\triangle BCD$ 中，$BD = \sqrt{2}CD = 4\sqrt{2}$。
∵ $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}BD\cdot CG = \frac{1}{2}BC\cdot CD$，
∴ $4\sqrt{2}CG = 4×4$，
∴ $CG = 2\sqrt{2}$，
∴ 线段 $EF$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$，故④正确。

2 [2024 深圳中学月考]如图,菱形 EFGH 的三个顶点 E,G,H 分别在正方形 ABCD 的边 AB,CD,DA 上,连接 CF.
(1)求证：∠HEA= ∠CGF.
(2)当 AH= DG 时,求证：菱形 EFGH 为正方形.

答案：
证明：
(1)如图，连接 $GE$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB// CD$，
∴ $∠AEG = ∠CGE$。
∵ 四边形 $EFGH$ 是菱形，
∴ $GF// HE$，
∴ $∠HEG = ∠FGE$，
∴ $∠AEG - ∠HEG = ∠CGE - ∠FGE$，
∴ $∠HEA = ∠CGF$。
(2)
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠D = ∠A = 90^{\circ}$。
∵ 四边形 $EFGH$ 是菱形，
∴ $HG = HE$。在 $Rt\triangle HAE$ 和 $Rt\triangle GDH$ 中，$\begin{cases}AH = DG,\\HE = GH,\end{cases}$
∴ $Rt\triangle HAE≌Rt\triangle GDH(HL)$，
∴ $∠AHE = ∠DGH$，又
∵ $∠DHG + ∠DGH = 90^{\circ}$，
∴ $∠DHG + ∠AHE = 90^{\circ}$，
∴ $∠GHE = 90^{\circ}$，
∴ 菱形 $EFGH$ 为正方形。

(1)数学活动课上,老师出示了一个问题：如图 1,在矩形 ABCD 中,E 是边 AB 上一点,DF⊥CE 于点 F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG= CF,试猜想四边形 ABCD 的形状,并说明理由.
四边形 ABCD 的形状是正方形。
(2)小明受此问题启发,逆向思考并提出新的问题：如图 2,在正方形 ABCD 中,E 是边 AB 上一点,DF⊥CE 于点 F,AH⊥CE 于点 H,GD⊥DF,交 HA 的延长线于点 G,可以用等式表示线段 FH,AH,CF 的数量关系,请你思考并解答这个问题.
线段 FH,AH,CF 的数量关系是FH=AH+CF。

答案： 解：
(1)四边形 $ABCD$ 是正方形。理由如下：
∵ $GD⊥DF$，$DF⊥CE$，$AG⊥DG$，
∴ $∠G = ∠DFC = 90^{\circ}$，$∠ADG + ∠ADF = 90^{\circ}$。在矩形 $ABCD$ 中，$∠ADC = 90^{\circ} = ∠ADF + ∠CDF$，
∴ $∠ADG = ∠CDF$，
∵ $AG = CF$，
∴ $\triangle ADG≌\triangle CDF(AAS)$，
∴ $AD = CD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是正方形。
(2)
∵ $DF⊥CE$，$AH⊥CE$，$GD⊥DF$，
∴ $∠DFH = ∠H = ∠GDF = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $DGHF$ 是矩形，
∴ $∠G = 90^{\circ} = ∠DFC$。同
(1)可得 $∠ADG = ∠CDF$。在正方形 $ABCD$ 中，$AD = CD$，
∴ $\triangle ADG≌\triangle CDF(AAS)$，
∴ $DG = DF$，$AG = CF$，
∴ 四边形 $DGHF$ 是正方形，
∴ $HG = HF$，
∴ $FH = HG = AH + AG = AH + CF$。