《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025 运城实验中学期中]关于 $ y $ 的一元二次方程 $ 5 y ^ { 2 } - 20 = 0 $ 的解是 (B)
A. $ y = 2 $
B. $ y _ { 1 } = 2 , y _ { 2 } = - 2 $
C. $ y _ { 1 } = y _ { 2 } = 4 $
D. $ y _ { 1 } = y _ { 2 } = - 2 $

答案： B 原方程可化为 $ 5y^{2}=20 $，$ \therefore y^{2}=4 $，两边开平方，得 $ y=\pm 2 $，$ \therefore y_{1}=2 $，$ y_{2}=-2 $。

若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } = c $ 有实数根,写出 $ c $ 的一个值:5.(写出一个即可)

答案： 5（答案不唯一，只要满足 $ c\geq 0 $ 即可）

3 [2024 娄底期中]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } = a $ 的两个根分别是 $ 2 m - 1 $ 与 $ m - 5 $,则 $ m = $2.

答案： 2 由直接开平方法可知，$ 2m - 1 $ 与 $ m - 5 $ 互为相反数，所以 $ 2m - 1 + m - 5 = 0 $，所以 $ m = 2 $。

4 [2024 温州期末]方程 $ ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 9 $ 的解是 (C)
A. $ x _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } , x _ { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } $
B. $ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = - 2 $
C. $ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = - 1 $
D. $ x = 2 $

答案： C 两边开平方，得 $ 2x - 1 = 3 $ 或 $ 2x - 1 = -3 $，解得 $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-1 $。
归纳总结
用直接开平方法解一元二次方程的步骤
（1）将方程化为 $ x^{2}=p(p\geq 0) $ 或 $ (mx + n)^{2}=p(p\geq 0) $ 的形式；（2）直接开平方化为两个一元一次方程；（3）解两个一元一次方程，得到原方程的解。

5 [2024 沧州期中]用直接开平方的方法解方程 $ ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } $,做法正确的是 (C)
A. $ 3 x + 1 = 2 x - 5 $
B. $ 3 x + 1 = - ( 2 x - 5 ) $
C. $ 3 x + 1 = \pm ( 2 x - 5 ) $
D. $ 3 x + 1 = \pm 2 x - 5 $

答案： C

6 [2025 桂林期中]如图,这是一个简单的数值运算程序,则输入 $ x $ 的值为 (C)

A. $ x _ { 1 } = 2 , x _ { 2 } = - 2 $
B. $ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = - 3 $
C. $ x _ { 1 } = 3 , x _ { 2 } = - 1 $
D. $ x _ { 1 } = - 3 , x _ { 2 } = 1 $

答案： C 由题意，得 $ 2(x - 1)^{2}=8 $，整理，得 $ (x - 1)^{2}=4 $，直接开平方，得 $ x - 1 = 2 $ 或 $ x - 1 = -2 $，解得 $ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-1 $。

7 [2023 赤峰中考]用配方法解方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0 $ 时,配方后正确的是 (C)
A. $ ( x + 2 ) ^ { 2 } = 3 $
B. $ ( x + 2 ) ^ { 2 } = 17 $
C. $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 5 $
D. $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 17 $

答案： C 把常数项移到方程的右边，得 $ x^{2}-4x = 1 $，方程两边都加4，（两边同时加上一次项系数一半的平方）得 $ x^{2}-4x + 4 = 1 + 4 $，所以 $ (x - 2)^{2}=5 $。

8 [2024 石家庄外国语教育集团月考]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成配方法解一元二次方程,规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后解出方程.过程如图所示.接力中,自己负责的一步出现错误的是 (甲和丙)

A. 只有甲
B. 甲和乙
C. 甲和丙
D. 丙和丁

答案： C $ x^{2}+2x - 3 = 0 $，配方，得 $ x^{2}+2x + 1 = 3 + 1 $，故甲错误；由 $ x^{2}+2x + 1 = 3 $，得 $ (x + 1)^{2}=3 $，所以 $ x + 1=\sqrt{3} $ 或 $ x + 1=-\sqrt{3} $，故乙正确，丙错误；由 $ x + 1=\sqrt{3} $，得 $ x=\sqrt{3}-1 $，故丁正确。所以接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙。

9 [一题多解][2025 丹东期中]把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 8 x + c = 0 $ 配方,得 $ ( x + m ) ^ { 2 } = 11 $,则 $ c + m $ 的值为 (1)
A. 1
B. 3
C. 5
D. 10

答案： 解法一 $ x^{2}-8x + c = 0 $，移项，得 $ x^{2}-8x=-c $，配方，得 $ x^{2}-8x + 4^{2}=4^{2}-c $，即 $ (x - 4)^{2}=16 - c $，由题意，得 $ m = -4 $，$ 16 - c = 11 $，解得 $ c = 5 $，$ \therefore c + m = 5 - 4 = 1 $。
解法二 由 $ (x + m)^{2}=11 $，得 $ x^{2}+2mx + m^{2}=11 $，$ \therefore x^{2}+2mx + m^{2}-11 = 0 $，由题意，得 $ 2m = -8 $，$ m^{2}-11 = c $，解得 $ m = -4 $，$ \therefore c = m^{2}-11 = 5 $，$ \therefore c + m = 5 - 4 = 1 $。
归纳总结
解一元二次方程配方的一般步骤
（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

10 用配方法解下列方程:
(1)[2024 渭南临渭区期中]$ x ^ { 2 } + 12 x + 27 = 0 $;
解：移项，得 $ x^{2}+12x=-27 $，
配方，得 $ x^{2}+12x + 36 = 9 $，即 $ (x + 6)^{2}=9 $，
两边开平方，得 $ x + 6=\pm 3 $，
所以$ x_{1}=-9 $，$ x_{2}=-3 $。
(2)[2024 晋中期末]$ x ( x + 4 ) = 8 x + 12 $.
解：去括号，得 $ x^{2}+4x = 8x + 12 $，
移项、合并同类项，得 $ x^{2}-4x = 12 $，
配方，得 $ x^{2}-4x + 4 = 12 + 4 $，即 $ (x - 2)^{2}=16 $，
两边开平方，得 $ x - 2=\pm 4 $，即 $ x = 2\pm 4 $，
所以$ x_{1}=6 $，$ x_{2}=-2 $。

答案： 解：（1）移项，得 $ x^{2}+12x=-27 $，
配方，得 $ x^{2}+12x + 36 = 9 $，即 $ (x + 6)^{2}=9 $，
两边开平方，得 $ x + 6=\pm 3 $，
所以 $ x_{1}=-9 $，$ x_{2}=-3 $。
（2）去括号，得 $ x^{2}+4x = 8x + 12 $，
移项、合并同类项，得 $ x^{2}-4x = 12 $，
配方，得 $ x^{2}-4x + 4 = 12 + 4 $，即 $ (x - 2)^{2}=16 $，
两边开平方，得 $ x - 2=\pm 4 $，即 $ x = 2\pm 4 $，
所以 $ x_{1}=6 $，$ x_{2}=-2 $。

11 [教材 P38T3 变式][2024 乌兰察布期中]某校进行体操队列训练,原有 8 行 10 列,现增加 40 人到队列中,使得增加的行数、列数相同,求增加了多少行.

答案： 解：设增加了 $ x $ 行，则增加了 $ x $ 列，
根据题意，得 $ (x + 8)(x + 10)-10\times 8 = 40 $，
整理，得 $ x^{2}+18x = 40 $，
配方，得 $ x^{2}+18x + 81 = 40 + 81 $，即 $ (x + 9)^{2}=121 $，
解得 $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-20 $（不合题意，舍去）。
答：增加了2行。