《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025杭州锦绣育才教育集团月考]如图,某同学学习物理“电流和电路”后设计了如图所示的电路图,其中$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$分别表示四个可开闭的开关,“⊗”表示小灯泡,“||”表示电源.电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作,当闭合开关$S_{1},S_{2},S_{3}$中任意一个,再闭合开关$S_{4}$时,小灯泡发光,按要求回答下列问题:

(1)当开关$S_{1}$闭合时,再随机闭合开关$S_{2}或S_{3}或S_{4}$其中一个,小灯泡发光的概率为____;
(2)当随机闭合开关$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$中的两个,请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率.

答案：
解：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下:
　　　　　　　　　
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。

2 [2023福建中考]为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率.
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球? 说明你的理由.

答案： 解：
(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红、黄①、黄②、黄③，共4种等可能的结果，
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴$P(A)=\frac{1}{4}$，
∴顾客首次摸球中奖的概率为$\frac{1}{4}$。
(2)他应往袋中加入黄球。理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，列表如下：
| | 红 | 黄① | 黄② | 黄③ | 新 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 红 | | (红，黄①) | (红，黄②) | (红，黄③) | (红，新) |
| 黄① | (黄①，红) | | (黄①，黄②) | (黄①，黄③) | (黄①，新) |
| 黄② | (黄②，红) | (黄②，黄①) | | (黄②，黄③) | (黄②，新) |
| 黄③ | (黄③，红) | (黄③，黄①) | (黄③，黄②) | | (黄③，新) |
| 新 | (新，红) | (新，黄①) | (新，黄②) | (新，黄③) | |
由表格可知，共有20种等可能的结果。
(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率$P_{1}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
(ii)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率$P_{2}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
∵$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，
∴他应往袋中加入黄球。

3 [2024长沙三模]某中学将在九年级开展红色之旅研学活动,为了解学生的研学意向,在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查,所有问卷全部收回且有效,根据调查数据绘制成统计表和扇形统计图(如图).
调查问卷
在下面四个纪念馆中,你最想去的是( )(单选)
A.秋收起义文家市会师纪念馆
B.湖南红色档案馆
C.中国共产党长沙历史馆
D.湖南辛亥革命人物纪念馆
根据图表中提供的信息回答下列问题:
(1)统计图表中的$m=$20,$n=$30.
(2)如果该校九年级学生共有900人,估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人.
(3)学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地.为方便管理,从甲、乙、丙、丁4名学生中,随机选择2名作为此次研学活动老师的助手,请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率.

答案： 解：
(1)20 30
由题意得，抽取的学生人数为$16÷20\% =80$，
∴$m=80×25\% =20$，$n\% =24÷80×100\% =30\%$，
∴$n=30$。
(2)$900×\frac{20}{80}=225$(人)。
∴估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有225人。
(3)列表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | | (甲，乙) | (甲，丙) | (甲，丁) |
| 乙 | (乙，甲) | | (乙，丙) | (乙，丁) |
| 丙 | (丙，甲) | (丙，乙) | | (丙，丁) |
| 丁 | (丁，甲) | (丁，乙) | (丁，丙) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生中没有甲的结果有(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，乙)，(丙，丁)，(丁，乙)，(丁，丙)，共6种，
∴选出的2名学生中没有甲的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。